Abel prisen

De færreste læsere vil sige noget om navnet Abel. Nej, det her handler ikke om den uheldige unge mand, der blev dræbt af sin egen bror Kain. Jeg tænker på den norske matematiker Nils Henrik Abel (1802–1829) og den efter ham opkaldte pris, som netop er blevet uddelt (16. marts 2016) af Det Norske Videnskabsakademi og breve til Sir Andrew J. Wiles. Dette kompenserer matematikere for at være udeladt af Alfred Nobel i kategoriranglisten for verdens vigtigste videnskabspris.

Selvom matematikere sætter pris på den såkaldte. Fields medalje (officielt betragtet som den højeste laurbær på sit felt), den er forbundet med kun 15 tusind. (ikke millioner, tusinder!) Canadiske dollars indtil vinderen Abel priser lægger en check på 6 millioner norske kroner (ca. 750 8 euro) i lommen. Nobelpristagere modtager 865 millioner SEK, eller omkring XNUMX tusinde. euro - mindre end tennisspillere for at vinde en stor turnering. Der er flere sandsynlige årsager til, at Alfred Nobel ikke inkluderede matematikere blandt de mulige prisvindere. Nobels testamente omhandlede "opfindelser og opdagelser", der bringer den største fordel for menneskeheden, men sandsynligvis ikke teoretisk, men praktisk. Matematik blev ikke betragtet som en videnskab, der kunne bringe praktiske fordele til menneskeheden.

Hvorfor Abel

Hvem var Niels Henrik Abel og hvordan blev han berømt? Han må have været genial, for selvom han døde af tuberkulose kun 27 år gammel, havde han en fast plads i matematik. Nå, allerede i ungdomsskolen lærer de os at løse ligninger; første grad først, derefter kvadratisk og nogle gange kubisk. Allerede for fire hundrede år siden var italienske videnskabsmænd i stand til at klare sig kvartsligningselv den, der ser uskyldig ud:

og hvoraf et af elementerne

Ja, videnskabsmænd kunne have gjort dette allerede i det XNUMX. århundrede. Det er ikke svært at gætte, at ligninger af højere grader blev taget i betragtning. Og intet. Ingen har haft succes i to hundrede år. Niels Abel svigtede også. Og så indså han, at ... måske er det slet ikke muligt. Det kan bevises umuligheden af ​​at løse en sådan ligning - eller rettere sagt, at udtrykke løsningen i simple aritmetiske formler.

Det var den første af 2. år (!) af denne type ræsonnementer: noget kan ikke bevises, noget kan ikke gøres. Monopolet på sådanne beviser tilhører matematikken - de praktiske videnskaber bryder barrierer mere og mere. I 1888 erklærede formanden for den amerikanske patentkommission, at "få opfindelser kan forventes i fremtiden, fordi næsten alt allerede er opfundet." I dag er det svært for os overhovedet at grine af dette... Men i matematik, når det er bevist, er det tabt. Det kan ikke lade sig gøre.

Historien deler den opdagelse, jeg har beskrevet, mellem Niels Abel i Evarista Galois, begge døde før de fyldte XNUMX år, undervurderet af deres samtidige. Niels Abel er en af ​​de få norske matematikere med bred berømmelse (faktisk to, den anden er Sophus Lee, 1842-1899 - efternavnene lyder ikke skandinaviske, men begge var indfødte nordmænd).

Nordmændene er på kant med svenskerne - det er desværre almindeligt blandt nabofolk. Et af motiverne for nordmændenes indstiftelse af Abelprisen var ønsket om at vise deres landsmænd Alfred Nobel: venligst, vi er ikke værre.

Jagter ikke-eksisterende marginindgang

Her er Nils Henrik Abel til dig. Nu om vinderen af ​​prisen, en 63-årig englænder (boende i USA). Hans bedrift i 1993 kunne kun sammenlignes med at bestige Everest, bestige månen eller noget i den stil. Hvem er sir Andrew Wiles? Hvis man ser på listen over hans publikationer og de forskellige mulige citationsindekser, vil han være en god videnskabsmand – der er tusindvis af dem. Han regnes dog for en af ​​de største matematikere. Hans forskning er relateret til talteori og bruger relationer med algebraisk geometri Oraz repræsentationsteori.

Han blev berømt for at løse et problem, som var fuldstændig ubetydeligt set ud fra matematikkens synspunkt bevis for Fermats sidste sætning (hvem ved ikke, hvad der foregår - mind dig om nedenfor). Den reelle værdi var dog ikke selve løsningen, men skabelsen af ​​en ny testmetode, der blev brugt til at løse mange andre vigtige problemer.

Det er umuligt på dette tidspunkt ikke at reflektere over betydningen af ​​visse forhold, over hierarkiet af menneskelige præstationer. Hundredtusindvis af unge drømmer om at sparke bolden bedre end andre, titusinder vil udsætte sig selv for Himalayas vinde, hoppe gummi på en bro, lave lyde, som de kalder sang, proppe usund mad ind i andre ... eller løse ingen unødvendig ligning. Den første erobrer af Mount Everest, Sir Edward Hillary, svarede direkte på spørgsmålet, hvorfor han tog dertil: "Fordi han er, fordi Everest er!" Forfatteren til disse ord var matematiker hele sit liv, det var min opskrift på livet. Den eneste rigtige! Men lad os få denne filosofi overstået. Lad os komme tilbage på matematikkens sunde vej. Hvorfor al den ballade om Fermats sætning?

Vi ved vel alle, hvad de er Primtal. Sikkert forstår alle udtrykket "nedbrydes til primære faktorer", især når vores søn forvandler ure til dele.

Pierre de Ferma (1601-1665) var jurist fra Toulouse, men han beskæftigede sig også med amatørmatematik og med ganske gode resultater, fordi han gik over i matematikkens historie som forfatter til mange teoremer om talteori og talanalyse. Han plejede at sætte sine bemærkninger og kommentarer i margenen af ​​de bøger, han læste. Og præcis - omkring 1660 skrev han i en af ​​margenerne:

Her er Pierre de Fermat til dig. Siden hans tid (og lad mig minde dig om, at den modige Gascon-adelsmand d'Artagnan boede i Frankrig på det tidspunkt, og Andrzej Kmitsich kæmpede med Bohuslav Radziwill i Polen), forsøgte hundreder og måske endda tusinder af store og små matematikere uden held at rekonstruere en genial amatørs tabte ræsonnement. Selvom vi i dag er sikre på, at Fermats bevis ikke kan være korrekt, var det ærgerligt, at det simple spørgsmål om, hvorvidt ligning xⁿ + yⁿ = dⁿ, n> 2 har løsninger i naturlige tal? kan være så svært.

Mange af matematikerne, der kom på arbejde den 23. juni 1993, fandt i deres e-mail (som dengang var en frisk, stadig varm opfindelse) en lakonisk besked: "Rygter fra Storbritannien: Wiles beviser Fermat." Dagen efter skrev dagspressen om det, og den sidste af Wiles-rækken af ​​foredrag samlede pressen, tv og fotojournalister – ligesom ved en konference for en kendt fodboldspiller.

Enhver, der læser "Satan fra syvende klasse" af Kornel Makuszyński, husker helt sikkert, hvad hr. Iwo Gąsowski, bror til historieprofessoren, hvis system til at spørge elever opdaget af Adaś Cisowski, gjorde. Iwo Gąsowski løste bare Fermat-ligningen, mistede tid, ejendom og forsømte huset:

Til sidst forstod hr. Iwo, at lovforslagene om beføjelserne ikke ville sikre familiens lykke, og han gav op. Makuszyński kunne ikke lide videnskab, men han havde ret med hensyn til hr. Gąsowski. Iwo Gąsowski begik en grundlæggende fejl. Han forsøgte ikke at blive specialist i ordets gode forstand, men optrådte som en amatør. Andrew Wiles er en professionel.

Historien om kampen mod Fermats sidste sætning er interessant. Det kan ganske enkelt ses, at det er tilstrækkeligt at løse dem for eksponenter, der er primtal. For n = 3 blev løsningen givet i 1770. Leonard Euler, for n = 5 – Peter Gustav Lejen Dirichlet (1828) og Adrienne Marie Legendre i 1830, og ved n = 7 – Gabriel Lame i 1840. I det XNUMX. århundrede viede den tyske matematiker det meste af sin energi til Fermats problem Ernst Eduard Kummer (1810-1893). Selvom han ikke opnåede ultimativ succes, beviste han mange specielle tilfælde og opdagede mange vigtige egenskaber ved primtal. Meget af moderne algebra, teoretisk aritmetik og algebraisk talteori skylder sin oprindelse til Kummers arbejde med Fermats teorem.

Når man løste Fermats problem ved hjælp af klassisk talteori, blev de opdelt i to forskellige tilfælde af kompleksitet: det første, når vi antager, at produktet xyz er coprime med eksponent n, og det andet, når tallet z er lige deleligt med eksponent. I det andet tilfælde var det kendt, at der ikke var løsninger op til n = 150, og i det første tilfælde op til n = 000 (Lehmer, 6). Det betød, at et muligt modeksempel under alle omstændigheder ville være umuligt: ​​det ville kræve sedler på milliarder af cifre for at opnå det.

Her er en gammel historie til dig. I begyndelsen af ​​1988 var det kendt i den matematiske verden, at Yoti Miyaoka bevist en vis ulighed, hvoraf det fulgte følgende: hvis kun eksponenten n er stor nok, så har Fermats ligning bestemt ingen løsninger. Sammenlignet med det lidt tidligere resultat af det tyske Gerd Faltings (1983) Miyaokas resultat betød, at hvis der er løsninger, så er der (i forhold til proportionalitet) kun et begrænset antal af dem. Således er løsningen af ​​Fermats problem reduceret til at opremse slutningen af ​​mange sager. Desværre, hvor mange af dem var ikke kendt: metoderne brugt af Miyaoka tillod ikke et skøn over, hvor mange der allerede var "ok".

Det er her værd at bemærke, at studiet af Fermats sætning i mange år ikke blev udført inden for rammerne af ren talteori, men inden for rammerne af algebraisk geometri, en matematisk disciplin afledt af algebra og en udvidelse af kartesisk analytisk geometri, og nu breder sig næsten overalt: fra matematikkens grundlag (teori topoi i logik), gennem matematisk analyse (kohomologiske metoder, funktionelle skiver), klassisk geometri, til teoretisk fysik (vektorbundter, twistorrum, solitoner).

Når æresbevisninger er ligeglade

Det er også svært ikke at være ked af matematikerens skæbne, hvis bidrag til løsningen af ​​Fermats problem er meget betydeligt. Jeg taler om ArakielSuren Yurievich Arakelov, ukrainsk matematiker med armenske rødder), som i begyndelsen af ​​80'erne, da han var på fjerde år, skabte den såkaldte. skæringsteori om aritmetiske varianter. Sådanne overflader er fulde af huller og ufuldkommenheder, og kurverne på dem kan pludselig forsvinde og derefter dukke op igen. Skæringsteori forklarer, hvordan man beregner graden af ​​skæring af sådanne kurver. Dette var det vigtigste værktøj, som Faltings og Miyaoka brugte i deres arbejde med Fermats problem.

Engang blev Arakelov inviteret til at præsentere sine resultater på en stor matematisk kongres. Men fordi han var kritisk over for det sovjetiske system, blev han nægtet tilladelse til at rejse. Snart blev han indkaldt til hæren. Han demonstrerede trodsigt, at han var imod militærtjeneste generelt af pacifistiske årsager. Som jeg erfarede fra ret tvivlsomme kilder, blev han angiveligt sendt til et lukket psykiatrisk hospital, hvor han tilbragte omkring et år. Som du ved, tilsyneladende af politiske formål, udpegede sovjetiske psykiatere en særlig type skizofreni (på engelsk fra, som betyder "træg", på russisk træg skizofreni).

Det er svært at sige hundrede procent, hvordan det egentlig var, for mine informationskilder er ikke særlig pålidelige. Efter at have forladt hospitalet tilbragte Arakelov tilsyneladende flere måneder i et kloster i Zagorsk. Han bor i øjeblikket i Moskva med sin kone og tre børn. Han laver ikke matematik. Andrew Wiles er fuld af hæder og penge.

Set fra et velnæret europæisk samfunds synspunkt er skridtet også uforståeligt Grigory Perelman, som i 2002 løste det mest berømte topologiske problem i det XNUMX. århundrede,Poinari formodningOg så afviste han alle mulige priser. Først Fields-medaljen, nævnt i begyndelsen, som matematikere anser for at svare til Nobelprisen, og derefter prisen på én million dollar for at løse et af de syv vigtigste matematiske problemer, der er tilbage fra det tyvende århundrede. "Andre var bedre, jeg er ligeglad med æresbevisninger, for matematik er min hobby, jeg har mad og cigaretter," fortalte han mere eller mindre til den forbløffede verden.

Succes efter mere end 300 år

Fermats store teorem var uden tvivl det mest berømte og mest effektive matematiske problem. Det var åbent i over tre hundrede år, det var formuleret på en meget klar og læsbar måde, og det var teoretisk muligt at angribe af enhver, og i en tid med popularisering af computere var det relativt nemt at prøve at slå endnu en rekord i vurderingen mulige løsninger. I matematikkens historie spillede dette spørgsmål gennem sin inspirerende rolle en meget vigtig "kulturdannende" rolle, hvilket bidrog til fremkomsten af ​​hele matematiske discipliner. Dette er mærkeligt, da problemet i sig selv er relativt trivielt, og blot informationen om manglen på rødder i Fermat-ligningen bidrog ikke meget til den generelle skatkammer af matematisk viden.

I 1847 holdt Gabriel Lamet (1795-1870) et foredrag på det franske videnskabsakademi, hvor han bekendtgjorde løsningen på Fermats problem. En subtil fejl i ræsonnementet blev dog straks bemærket. Det var baseret på den uautoriserede brug af den unikke dekomponeringssætning. Vi husker fra skolen, at hvert tal har en unik opdeling i primfaktorer, for eksempel 2012 = 2 ∙ 2 ∙ 503. Tallet 503 har ingen divisorer (bortset fra 1 og 503 selv), så det kan ikke udvides yderligere.

Fordelingens unikke egenskab er besat af positive heltal, men blandt andre numeriske sæt behøver de ikke at være det. For eksempel for tegnnumre

vi har 36 = 2²⋅2³ ,men også

Ved at analysere Lames bevis var Kummer i stand til at bevise gyldigheden af ​​Fermats formodning for nogle eksponenter af p. Han kaldte dem almindelige primtal. Dette var det første vigtige skridt hen imod et fuldstændigt bevis. En myte er vokset op omkring Fermats sætning. "Eller måske er det endnu værre - måske kan du ikke engang bevise, at det er muligt eller umuligt at løse?"

Men siden 80'erne følte alle, at målet var tæt på. Jeg kan huske, at Berlinmuren stadig stod, og jeg lyttede allerede til foredrag om "snart, om et øjeblik". Nå, nogen skulle være først. Andrew Wiles afsluttede sit foredrag med et engelsk slim: "Jeg tror, ​​Fermat beviser det," og det tog noget tid, før det overfyldte publikum indså, hvad der var sket: Et 330 år gammelt matematisk problem blev arbejdet intensivt af hundredvis af matematikere fra selve regimentet og utallige amatører, såsom Ivo Gonsovssky fra Makushinskys. Og Andrew Wiles havde æren af ​​at give hånd til Harald V, Norges konge. Måske var han ikke opmærksom på den beskedne godtgørelse for Abelprisen, omkring flere hundrede tusinde euro - hvorfor har han brug for så mange penge?