Ligninger, koder, cifre, matematik og poesi

Michal Shurek siger om sig selv: "Jeg blev født i 1946. Jeg dimitterede fra Warszawa Universitet i 1968 og siden da har jeg arbejdet på Fakultetet for Matematik, Informatik og Mekanik. Videnskabelig specialisering: algebraisk geometri. Jeg har for nylig beskæftiget mig med vektorbundter. Hvad er en vektorstråle? Så vektorerne skal være tæt bundet med en tråd, og vi har allerede en masse. Min fysikerven Anthony Sim fik mig til at slutte sig til den unge tekniker (han indrømmer, at han burde få royalties fra mine honorarer). Jeg skrev et par artikler og så blev jeg, og siden 1978 kan du hver måned læse, hvad jeg synes om matematik. Jeg elsker bjerge, og på trods af at jeg er overvægtig, prøver jeg at gå. Jeg synes, lærerne er de vigtigste. Jeg ville holde politikere, uanset deres muligheder, i et stærkt bevogtet område, så de ikke kan flygte. Foder en gang om dagen. En beagle fra Tulek kan lide mig.

En ligning er som et ciffer for en matematiker. At løse ligninger, essensen af ​​matematik, er læsning af chiffertekst. Dette er blevet bemærket af teologer siden det XNUMX. århundrede. Johannes Paul II, som kunne matematik, skrev og nævnte dette flere gange i sine prædikener - desværre er fakta slettet fra min hukommelse.

I skolevidenskab præsenteres det Pythagoras som forfatter til en sætning om en bestemt afhængighed i en retvinklet trekant. Så det blev en del af vores eurocentriske filosofi. Og alligevel har Pythagoras meget flere fordele. Det var ham, der pålagde sine elever ansvaret for at "udforske verden", fra "hvad er der bag denne bakke?" før du studerer stjernerne. Det er derfor, europæerne "opdagede" gamle civilisationer, og ikke omvendt.

Nogle læsere husker "Viète mønstreog"; mange ældre læsere husker selve udtrykket fra skolen og omtrent det faktum, at spørgsmålet optrådte i andengradsligninger. Disse regelmæssigheder er "ideologisk" kryptering Information.

Ikke så mærkeligt: ​​en Francois Viette (1540-1603) var engageret i kryptografi ved Henrik IV's hof (den første franske konge fra Bourbon-dynastiet, 1553-1610) og formåede at bryde den kode, som briterne brugte i krigen med Frankrig. Så han spillede den samme rolle som de polske matematikere (ledet af Marian Rejewski), der opdagede hemmelighederne bag den tyske Enigma-krypteringsmaskine før Anden Verdenskrig.

Mode tema

Nemlig. Emnet "koder og cifre" er for længst blevet moderne i undervisningen. Jeg har allerede skrevet om dette flere gange, og der kommer endnu en episode om to måneder. Denne gang skriver jeg under indtryk af en film om 1920-krigen, hvor sejren i høj grad skyldtes brud på de bolsjevikiske troppers kodeks af et hold ledet af de dengang unge Waclaw Sierpinski (1882-1969). Nej, det er ikke Enigma endnu, det er kun en introduktion. Jeg husker en scene fra filmen, hvor Józef Pilsudski (spillet af Daniil Olbrychski) siger til lederen af ​​chifferafdelingen:

De dekrypterede beskeder bar en vigtig besked: Tukhachevskys tropper ville ikke modtage støtte. Du kan angribe!

Jeg vidste, at Waclaw Sierpinski (hvis jeg kan sige det: Jeg var en ung studerende, han var en berømt professor), deltog i hans forelæsninger og seminarer. Han gav indtryk af en visnen videnskabsmand, fraværende, optaget af sin disciplin og ikke se den anden verden. Han forelæste specifikt, vendt mod bestyrelsen, uden at se på publikum... men han følte sig som en fremragende specialist. På den ene eller anden måde havde han visse matematiske evner – for eksempel til at løse problemer. Der er andre - videnskabsmænd, der er relativt dårlige til at løse gåder, men som har en dyb forståelse af hele teorien og er i stand til at igangsætte hele kreativitetsfelter. Vi har brug for begge dele - selvom den første vil bevæge sig hurtigere.

Waclaw Sierpinski talte aldrig om sine præstationer i 1920. Indtil 1939 skulle dette bestemt holdes hemmeligt, og efter 1945 nød de, der kæmpede med Sovjetrusland, ikke de daværende myndigheders sympati. Min tro på, at der er brug for videnskabsmænd som en hær, er blevet bevist: "for en sikkerheds skyld." Her er præsident Roosevelt, der ringer til Einstein:

Den fremragende russiske matematiker Igor Arnold sagde åbent og trist, at krigen havde stor indflydelse på udviklingen af ​​matematik og fysik (radar og GPS havde også en militær oprindelse). Jeg går ikke ind på det moralske aspekt af brugen af ​​atombomben: her er forlængelsen af ​​krigen i et år og døden af ​​flere millioner af deres egne soldater - der er lidelsen for uskyldige civile.

***

Jeg løber væk til kendte områder - k. Mange af os legede med koderne, måske spejder, måske bare sådan. Simple cifre, baseret på princippet om at erstatte bogstaver med andre bogstaver eller andre tal, brydes rutinemæssigt, hvis vi kun fanger nogle få spor (for eksempel gætter vi kongens navn). Statistisk analyse hjælper også i dag. Værre, når alt er foranderligt. Men det værste er, når der ikke er nogen regelmæssighed. Overvej koden beskrevet i The Adventures of the Good Soldier Schweik. Tag en bog, for eksempel Syndfloden. Her er forslagene på første og anden side.

Vi ønsker at kode ordet "CAT". Åbn til side 1 og den tilstødende anden. Vi oplever, at på side 1 optræder bogstavet K for første gang på en 59. plads. Vi finder det nioghalvtredsindstyvende ord på den modsatte, anden side. Dette er ordet "a". Nu er bogstavet O. Til venstre er det 16. ord, og det sekstende til højre er "Mr." Bogstavet T er på 95. pladsen, hvis jeg har talt rigtigt, og det femoghalvfems ord fra højre er "o". Så KAT = 1 LORD O.

En "ugætterlig" chiffer, omend smertefuldt langsom både til kryptering og... til at gætte. Lad os sige, at vi vil overføre bogstavet M. Vi kan kontrollere, om vi koder det med ordet "Wołodyjowski". Og efter os er de allerede ved at forberede en fængselscelle. Vi kan kun regne med en erstatning! Derudover bemærker kontraspionage rapporter fra hemmelige agenter om, at kunder i nogen tid nu villigt har købt første bind af Syndfloden.

Min artikel er et bidrag til denne afhandling: selv de mest bizarre ideer fra matematikere kan finde anvendelse i bredt forstået praksis. Er det for eksempel muligt at forestille sig en mindre nyttig matematisk opdagelse end testen af ​​delelighed... med 47?

Hvornår får vi brug for det i livet? Og hvis det er tilfældet, vil det være lettere at prøve at adskille det. Hvis det deler sig, så er det godt, hvis ikke, så... det er sekundært godt (vi ved godt, at det ikke deler).

Hvordan deler man og hvorfor

Efter denne introduktion, lad os gå videre til Kender I læsere nogen tegn på delelighed? Helt bestemt. Lige tal ender på 2, 4, 6, 8 eller nul. Et tal er deleligt med tre, hvis summen af ​​dets cifre er deleligt med tre. På samme måde, med delelighedstegnet med ni - skal summen af ​​cifrene være delelig med ni.

Hvem har brug for det? Jeg ville lyve, hvis jeg overbeviste læseren om, at han var god til andet end... skolearbejde. Nå, og også funktionen af ​​delelighed med 4 (hvad er det her, læser? Måske vil du bruge det, når du vil finde ud af, hvilket år det næste OL falder på...). Men hvad med træk ved delelighed med 47? Dette er allerede en hovedpine. Vil vi nogensinde vide, om noget er deleligt med 47? Hvis ja, så lad os tage en lommeregner og se.

Det her. Du har ret, læser. Alligevel, læs videre. Vær venlig.

Bevis for delelighed med 47: Tallet 100+ er deleligt med 47, hvis og kun hvis 47 er deleligt med +8.

Matematikeren vil smile tilfreds: "Jamen, smuk." Men matematik er matematik. Beviser betyder noget, og vi er opmærksomme på dets skønhed. Hvordan beviser vi vores egenskab? Det er meget enkelt. Træk fra 100 + tallet 94 - 47 = 47 (2 -). Vi får 100+-94+47=6+48=6(+8).

Vi fratrak et tal, der er deleligt med 47, så hvis 6 (+ 8) er deleligt med 47, så er det også 100 +. Men 6 er coprime til 47, hvilket betyder, at 6 (+ 8) er deleligt med 47, hvis og kun hvis det er lig med + 8. Slut på bevis.

lad os se på Nogle eksempler.

8805685 er deleligt med 47? Hvis vi virkelig er interesserede i dette, vil vi vide det hurtigere ved blot at dele os op, som vi blev undervist i folkeskolen. På en eller anden måde har hver mobiltelefon nu en lommeregner. Delt op? Ja, privat 187355.

Nå, lad os se, hvad tegnet på delelighed fortæller os. Vi afbryder de to sidste cifre, multiplicerer dem med 8, tilføjer resultatet til det "trunkerede tal" og gør det samme med det resulterende tal.

8805685 → 88056 + 8 = 85 → 88736 + 887 = 8 → 36 + 1175 = 11 → 8 + 75 = 611.

Vi ser, at 94 er deleligt med 47 (kvotienten er 2), hvilket betyder, at det oprindelige tal er deleligt. Store. Men hvad nu hvis vi bliver ved med at have det sjovt?

94 → 0 + 8 94 = 752 → 7 + 8 52 = 423 → 4 + 8 23 = 188 → 1 + 8 88 = 705 → 7 + 8 5 = 47.

Nu må vi stoppe. Syvogfyrre er deleligt med 47, ikke?

Behøver vi virkelig at stoppe? Hvad hvis vi går videre? Åh gud, alt kan ske... Jeg springer detaljerne over. Måske kun begyndelsen:

47 → 0 + 8 = 47 → 376 + 3 = 8 → 76 + 611 = 6 → 8 + 11 = 94.

Men desværre er det lige så vanedannende som at tygge frø...

752 → 7 + 8 * 52 = 423 → 4 + 8 * 23 = 188 → 1 + 8 * 88 = 705 → 7 + 8 * 5 = 47.

Ah, syvogfyrre. Det skete før. Hvad er det næste? . Samme. Tallene går i en løkke som denne:

Dette er faktisk interessant. Dette antal sløjfer.

to følgende eksempler.

Vi vil gerne vide, om 10017627 er deleligt med 47. Hvorfor har vi brug for denne viden? Vi husker princippet: ve viden, der ikke hjælper den, der kender. Viden er der altid for noget. Det vil være for noget, men nu vil jeg ikke forklare mig. Et par konti mere:

10017627 → 100176 + 8 27 = 100392.

"Han ændrede sin onkel fra en økse til en stok." Hvad får vi ud af alt dette?

Nå, lad os gentage forløbet af proceduren. Det vil sige, at vi vil fortsætte med at gøre dette (det vil sige ordet "iterate").

100392 → 1003 + 8 92 = 1739 → 17 + 8 39 = 329 → 3 + 8 29 = 235.

Lad os stoppe spillet og dividere som i skolen (eller på en lommeregner): 235 = 5 47. Bingo. Det oprindelige nummer 10017627 er deleligt med 47.

Bravo til os!

Hvad hvis vi går videre? Tro mig, du kan tjekke det.

Og endnu et interessant faktum. Vi vil tjekke om 799 er deleligt med 47. Vi bruger delelighedsfunktionen. Vi afbryder de to sidste cifre, multiplicerer det resulterende tal med 8 og tilføjer til det, der er tilbage:

799 → 7 + 8 99 = 7 + 792 = 799.

Hvad har vi? Tallet 799 er deleligt med 47, hvis og kun hvis 799 er deleligt med 47? Ja, alt er sandt, men du behøver ikke nogen matematik for dette!!! Smørret er fedtet (i det mindste er dette smør fedtet).

Om bladet, pirater og slutningen på vittighederne!

Yderligere to lignelser. Hvor er det bedste sted at gemme bladet? Svaret er indlysende: i skoven! Men hvordan finder man det senere?

Den anden kender vi fra bøger om pirater, som vi læste for længe siden. Piraterne lavede et kort over det sted, hvor de begravede skatten. Andre stjal den eller vandt den i kamp. Men kortet viste ikke, hvilken ø det var til. Og se selv! Selvfølgelig klarede piraterne dette (tortur) - de cifre, jeg taler om, kan også udvindes ved hjælp af disse metoder.

Slut på vittigheder. Læser! Vi opretter en chiffer. Jeg er en undercover-spion og bruger "Junior Technician" som min kontaktboks. Videresend mig krypterede beskeder som følger.

Konverter først teksten til en række tal ved hjælp af koden: AB CDEFGH IJ KLMN OP RST UWX Y Z1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Som du kan se, bruger vi ikke polske diakritiske tegn (dvs. uden ą, ę, ć, ń, ó, ś) og ikke-polske q, v - men det ikke-polske x efterlades for en sikkerheds skyld. Lad os inkludere yderligere 25 som mellemrum (mellemrum mellem ord). Åh, det vigtigste. Brug venligst kode nr. 47.

Du ved, hvad det betyder. Du går til en matematiker ven.

Venindens øjne blev store af overraskelse.

Du svarer stolt:

En matematiker giver dig denne egenskab... og du ved allerede, at kryptering bruger en funktion, der ikke ser iøjnefaldende ud

fordi et sådant mønster er den beskrevne handling

100 + → + 8.

Så når du vil finde ud af, hvad et tal som 77777777 betyder i en krypteret besked, bruger du funktionen

100 + → + 8

indtil du får et tal mellem 1 og 25. Se nu på den eksplicitte alfanumeriske kode. Lad os se: 77777777 →... Jeg overlader dette til dig som en opgave. Men lad os se, hvad bogstav 48 gemmer på? Lad os læse:

48 → 0 + 8 48 = 384.

Så får vi på skift:

384 → 3 + 8 84 = 675 → 6 + 8 75 = 606 → 6 + 8 6 = 54 → 0 + 8 54 = 432...

Der er ingen ende i sigte. Først efter den tresindstyvende (!) gang vises et tal mindre end 25. Dette er 3, hvilket betyder, at 48 er bogstavet C.

Og hvad giver dette budskab os? (Jeg vil gerne minde om, at vi bruger kodenummer 47):

80 – 152 – 136 – 546 – ​​695719 – 100 – 224 – 555 – 412 – 111 – 640 – 102 – 152 – 12881 – 444 – 77777777 – 59 – 408 – 373. – 1234567 – 341.

Tænk bare, hvad der er kompliceret her, nogle regninger. Vi er begyndt. I begyndelsen af ​​80'erne. En velkendt regel:

80 → 0 + 8 80 = 640 → 6 + 8 40 = 326.

Det fortsætter sådan her:

326 → 211 → 90 → 720 → 167 → 537 → 301 → 11.

Spise! Det første bogstav i beskeden er K. Puha, nemt, men hvor lang tid tager det?

Lad os også se, hvor mange problemer vi har med at håndtere tallet 1234567. Først sekstende gang får vi et tal mindre end 25, nemlig 12. Så 1234567 er L.

Okay, vil nogle måske sige, men denne aritmetiske operation er så enkel, at programmering af den på en computer straks ville bryde koden. Ja, det er sandt. Disse er simple computerberegninger. Ide med offentlig kode og det handler også om at gøre beregninger svære for computeren. Lad det virke i mindst hundrede år. Vil han tyde beskeden? Det betyder ikke noget. Det bliver ligegyldigt i lang tid. Det er (mere eller mindre) hvad offentlige cifre handler om. De kan gå i stykker, hvis du arbejder i meget lang tid... indtil nyheden ikke længere er relevant.

 det gav altid anledning til "anti-våbenisme". Det hele startede med et sværd og skjold. De hemmelige tjenester betaler begavede matematikere enorme summer for at opfinde krypteringsmetoder, som computere (inklusive dem, vi skaber) ikke vil være i stand til at bryde i det XNUMX. århundrede.

XNUMX. århundrede? Det er ikke så svært at vide, at der allerede er mange mennesker i verden, som vil leve i dette vidunderlige århundrede!

Åh hva'? Hvad hvis jeg beder (mig, den hemmelige officer kontaktet af den "unge tekniker") om at kryptere med kodenummer 23? eller 17? Enkel:

Må vi aldrig bruge matematik til sådanne formål.

***

Titlen på en artikel om poesi. Hvorfor skulle hun bekymre sig?

Som hvad? Poesi krypterer også verden.

Hvordan?

Ved deres metoder - svarende til algebraiske.