fem gange i øjet

I slutningen af ​​2020 blev der afholdt flere arrangementer på universiteter og skoler, udskudt fra ... marts. En af dem var "fejringen" af pi-dagen. Ved denne lejlighed, den 8. december, holdt jeg en fjernforelæsning på universitetet i Schlesien, og denne artikel er et resumé af forelæsningen. Hele festen startede 9.42, og mit foredrag er planlagt til 10.28. Hvor kommer en sådan nøjagtighed fra? Det er enkelt: 3 gange pi er omkring 9,42, og π til 2. potens er omkring 9,88, og timen 9 til 88. potens er 10 til 28.

Skikken med at hædre dette nummer, udtrykker forholdet mellem omkredsen af ​​en cirkel og dens diameter og nogle gange kaldet Archimedes-konstanten (såvel som i tysktalende kulturer), kommer fra USA (se også: ). 3.14 marts “American style” kl 22:22, deraf ideen. Den polske ækvivalent kunne være 7. juli, fordi brøken 14/XNUMX tilnærmer π godt, hvilket...Archimedes allerede vidste. Nå, marts XNUMX er den bedste tid til sidebegivenheder.

Disse tre og fjorten hundrededele er et af de få matematiske budskaber, der er blevet med os fra skolen for livet. Alle ved, hvad det betyder"fem gange i øjet". Det er så indgroet i sproget, at det er svært at udtrykke det anderledes og med samme ynde. Da jeg spurgte på bilværkstedet, hvor meget reparationen måtte koste, tænkte mekanikeren over det og sagde: "fem gange omkring otte hundrede zloty." Jeg besluttede at udnytte situationen. "Du mener en grov tilnærmelse?". Mekanikeren må have troet, at jeg havde hørt forkert, så han gentog: "Jeg ved ikke præcis hvor meget, men fem gange med øjet ville være 800."

.

Hvad handler det om? Stavemåde før Anden Verdenskrig brugte "nej" sammen, og jeg efterlod det der. Vi har ikke her at gøre med alt for pompøs poesi, selvom jeg godt kan lide tanken om, at "det gyldne skib pumper lykke." Spørg eleverne: Hvad betyder denne tanke? Men værdien af ​​denne tekst ligger et andet sted. Antallet af bogstaver i de følgende ord er cifrene i pi-udvidelsen. Lad os tage et kig:

Π ≈ 3,141592 653589 793238 462643 383279 502884 197169 399375 105820 974944 592307 816406 286208 998628 034825 342117 067982 148086 513282 306647 093844 609550 582231 725359 408128 481117 450284

I 1596, en hollandsk videnskabsmand af tysk oprindelse Ludolf van Seulen beregnet værdien af ​​pi til 35 decimaler. Så blev disse figurer indgraveret på hans grav. Hun dedikerede et digt til nummeret pi og til vores nobelpristager, Vislava Shimborska. Szymborska var fascineret af dette nummers ikke-periodicitet og det faktum, at med sandsynlighed 1 vil hver sekvens af cifre, såsom vores telefonnummer, forekomme der. Mens den første egenskab er iboende i ethvert irrationelt tal (som vi bør huske fra skolen), er den anden en interessant matematisk kendsgerning, som er svær at bevise. Du kan endda finde apps, der tilbyder: Giv mig dit telefonnummer, så skal jeg fortælle dig, hvor det er i pi.

Hvor der er rundhed, er der søvn. Hvis vi har en rund sø, så er det 1,57 gange længere at gå rundt om den end at svømme. Det betyder selvfølgelig ikke, at vi svømmer halvanden til to gange langsommere, end vi passerer. Jeg delte verdensrekorden på 100 meter med verdensrekorden på 100 meter. Interessant nok er resultatet næsten det samme hos mænd og kvinder og er 4,9. Vi svømmer 5 gange langsommere end vi løber. Roning er helt anderledes – men en interessant udfordring. Den har en ret lang historie.

På flugt fra den forfølgende Skurk sejlede den smukke og ædle Gode til søen. Skurken løber langs kysten og venter på, at hun får ham til at lande. Selvfølgelig løber han hurtigere end Dobry rækker, og hvis han løber jævnt, er Dobry hurtigere. Så den eneste chance for Evil er at få Good fra kysten – et præcist skud fra en revolver er ikke en mulighed, fordi. Det gode har værdifuld information, som det onde ønsker at vide.

Good overholder følgende strategi. Han svømmer over søen, nærmer sig gradvist kysten, men prøver altid at være på den modsatte side af den Onde, som tilfældigt løber til venstre og derefter til højre. Dette er vist på figuren. Lad Evil startposition være Z₁, og Dobre er midten af ​​søen. Når Zly flytter til Z₁, Dobro doplyvét do D.₁når Bad er i Z₂, godt med D₂. Det vil flyde i zigzag måde, men i overensstemmelse med reglen: så langt som muligt fra Z. Men da det bevæger sig væk fra centrum af søen, skal Good bevæge sig i større og større cirkler, og på et tidspunkt kan det ikke overholde princippet "at være på den anden side af det onde". Så roede han af al sin kraft til kysten i håb om, at den onde ikke ville gå uden om søen. Vil Good lykkes?

Svaret afhænger af, hvor hurtigt Good kan ro i forhold til værdien af ​​Bads ben. Antag, at den dårlige mand løber med en hastighed, der er gange den gode mands hastighed på søen. Derfor har den største cirkel, som God kan ro på for at modstå det Onde, en radius, der er en gang mindre end radius af en sø. Så på tegningen har vi. Ved punkt W begynder vores Kind at ro mod kysten. Det her må gå 

 med fart

Han har brug for tid.

Wicked jagter alle sine bedste fødder. Han skal fuldføre halvdelen af ​​cirklen, hvilket vil tage ham sekunder eller minutter, afhængigt af de valgte enheder. Hvis dette er mere end en lykkelig slutning:

Den gode vil gå. Simple regnskaber viser, hvad det skal være. Hvis den dårlige mand løber hurtigere end 4,14 gange den gode mand, ender det ikke godt. Og også her griber vores nummer pi ind.

Det, der er rundt, er smukt. Lad os se på billedet af tre dekorative plader - jeg har dem efter mine forældre. Hvad er arealet af den buede trekant mellem dem? Dette er en simpel opgave; svaret er på samme billede. Vi er ikke overraskede over, at det optræder i formlen - når alt kommer til alt, hvor der er rundhed, er der pi.

Jeg brugte et muligvis ukendt ord:. Dette er navnet på tallet pi i den tysktalende kultur, og alt dette takket være hollænderne (faktisk en tysker, der boede i Holland - nationalitet betød ikke noget på det tidspunkt), Ludolf af Seoulen... I 1596 g. han beregnede 35 cifre af sin ekspansion til decimal. Denne rekord holdt indtil 1853, da William Rutherford talte 440 pladser. Rekordholderen for manuelle beregninger er (sandsynligvis for evigt) William Shankssom efter mange års arbejde udgav (i 1873) udvidelse til 702 cifre. Først i 1946 blev de sidste 180 cifre fundet at være forkerte, men det forblev sådan. Xnumx højre. Det var interessant at finde selve fejlen. Kort efter offentliggørelsen af ​​Shanks' resultat, havde de mistanke om, at "noget var galt" - der var mistænkeligt få syvere under udvikling. Den endnu ubeviste (december 2020) hypotese siger, at alle tal skal vises med samme frekvens. Dette fik D.T. Ferguson til at revidere Shanks' beregninger og finde "lærerens" fejl!

Senere hjalp lommeregnere og computere folk. Den nuværende (december 2020) rekordholder er Timothy Mullican (50 billioner decimaler). Beregningerne tog ... 303 dage. Lad os lege: hvor meget plads dette nummer ville tage, trykt i en standardbog. Indtil for nylig var den trykte "side" af teksten 1800 tegn (30 linjer gange 60 linjer). Lad os reducere antallet af tegn og sidemargener, proppe 5000 tegn pr. side og udskrive 50 siders bøger. Så XNUMX billioner karakterer ville tage ti millioner bøger. Ikke dårligt, vel?

Spørgsmålet er, hvad er meningen med sådan en kamp? Fra et rent økonomisk synspunkt, hvorfor skulle skatteyderne betale for sådan en "underholdning" af matematikere? Svaret er ikke svært. Først, fra Seoulen opfundet blanks til beregninger, så nyttig til logaritmiske beregninger. Hvis han havde fået at vide: venligst, byg blanks, ville han have svaret: hvorfor? På samme måde kommando:. Som du ved, var denne opdagelse ikke helt tilfældig, men ikke desto mindre et biprodukt af forskning af en anden type.

For det andet, lad os læse, hvad han skriver Timothy Mullican. Her er en gengivelse af begyndelsen af ​​hans arbejde. Professor Mullican er i cybersikkerhed, og pi er så lille en hobby, som han lige har testet sit nye cybersikkerhedssystem på.

Og at 3,14159 i teknik er mere end nok, det er en anden sag. Lad os lave en simpel beregning. Jupiter er 4,774 Tm væk fra Solen (terameter = 1012 meter). For at beregne omkredsen af ​​en sådan cirkel med en sådan radius til en absurd præcision på 1 millimeter, ville det være nok at tage π = 3,1415926535897932.

Følgende billede viser en kvart cirkel af legoklodser. Jeg brugte 1774 puder, og det var omkring 3,08 pi. Ikke den bedste, men hvad kan man forvente? En cirkel kan ikke bestå af firkanter.

Nemlig. Tallet pi er kendt for at være cirkel firkant - et matematisk problem, der har ventet på sin løsning i mere end 2000 år - siden den græske tid. Kan du bruge et kompas og en ligekant til at konstruere en firkant, hvis areal er lig med arealet af den givne cirkel?

Udtrykket "firkant af en cirkel" er kommet ind i talesproget som et symbol på noget umuligt. Jeg trykker på tasten for at spørge, er dette en slags forsøg på at fylde den skyttegrav af fjendtlighed, der adskiller borgerne i vores smukke land? Men jeg undgår allerede dette emne, for jeg føler mig nok kun i matematik.

Og igen det samme - løsningen på problemet med at kvadrere cirklen dukkede ikke op på en sådan måde, at forfatteren til løsningen, Charles Lindemann, i 1882 blev han oprettet og endelig lykkedes det. Til en vis grad ja, men det var resultatet af et angreb fra bred front. Matematikere har lært, at der findes forskellige slags tal. Ikke kun heltal, rationelle (det vil sige brøker) og irrationelle. Umålbarhed kan også være bedre eller dårligere. Vi husker måske fra skolen, at det irrationelle tal er √2 - et tal, der udtrykker forholdet mellem længden af ​​diagonalen af ​​en firkant og længden af ​​dens side. Som ethvert irrationelt tal har det en ubestemt forlængelse. Lad mig minde dig om, at periodisk ekspansion er en egenskab ved rationelle tal, dvs. private heltal:

Her gentages talfølgen 142857 i det uendelige. For √2 vil dette ikke ske - det er en del af irrationaliteten. Men du kan:

(brøkdel fortsætter for evigt). Vi ser et mønster her, men af ​​en anden type. Pi er ikke engang så almindelig. Det kan ikke opnås ved at løse en algebraisk ligning - altså en, hvor der hverken er en kvadratrod, en logaritme eller trigonometriske funktioner. Dette viser allerede, at det ikke er konstruerbart - at tegne cirkler fører til kvadratiske funktioner, og linjer - lige linjer - til ligninger af første grad.

Måske afveg jeg fra hovedplottet. Kun udviklingen af ​​al matematik gjorde det muligt at vende tilbage til oprindelsen - til den ældgamle smukke matematik af de tænkere, der skabte for os den europæiske tankekultur, som er så tvivlsom i dag af nogle.

Af de mange repræsentative mønstre valgte jeg to. Den første af dem forbinder vi med efternavnet Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Men han var kendt (model, ikke Leibniz) af den middelalderlige hinduforsker Madhava fra Sangamagrammet (1350-1425). Overførslen af ​​information på det tidspunkt var ikke stor - internetforbindelser var ofte buggy, og der var ingen batterier til mobiltelefoner (fordi elektronik endnu ikke var opfundet!). Formlen er smuk, men ubrugelig til beregninger. Fra hundrede ingredienser opnås "kun" 3,15159.

han er lidt bedre Viètes formel (den fra andengradsligninger) og dens formel er nem at programmere, fordi det næste led i produktet er kvadratroden af ​​de foregående plus to.

Vi ved, at cirklen er rund. Vi kan sige, at det er en 100 procent runde. Matematikeren vil spørge: kan noget ikke være 1 procent rundt? Tilsyneladende er dette en oxymoron, en sætning, der indeholder en skjult modsigelse, såsom for eksempel varm is. Men lad os prøve at måle, hvor runde formerne kan være. Det viser sig, at et godt mål er givet ved følgende formel, hvor S er arealet og L er figurens omkreds. Lad os finde ud af, at cirklen virkelig er rund, at sigmaen er 6. Cirklens areal er omkredsen. Vi indsætter ... og ser, hvad der er rigtigt. Hvor rund er firkanten? Beregningerne er lige så enkle, jeg vil ikke engang give dem. Tag en regulær sekskant indskrevet i en cirkel med en radius. Omkredsen er åbenbart XNUMX.

Polere

Hvad med en almindelig sekskant? Dens omkreds er 6 og dens areal

Så det har vi

hvilket er omtrent lig med 0,952. Sekskanten er mere end 95 % "rund".

Et interessant resultat opnås ved beregning af rundheden af ​​et sportsstadion. I henhold til IAAF-reglerne skal lige og kurver være 40 meter lange, selvom afvigelser er tilladt. Jeg kan huske, at Bislet Stadion i Oslo var smalt og langt. Jeg skriver "var", fordi jeg selv kørte på det (for en amatør!), men for mere end XNUMX år siden. Lad os tage et kig:

Hvis buen har en radius på 100 meter, er radius af denne bue meter. Arealet af græsplænen er kvadratmeter, og området udenfor den (hvor der er springbrætter) er i alt kvadratmeter. Lad os sætte dette ind i formlen:

Så har rundheden af ​​et sportsstadion noget at gøre med en ligesidet trekant? Fordi højden af ​​en ligesidet trekant er det samme antal gange siden. Det er et tilfældigt sammenfald af tal, men det er rart. Jeg kan lide det. Og læserne?

Nå, det er godt, at det er rundt, selvom nogle måske gør indsigelse, fordi den virus, der påvirker os alle, er rund. Sådan tegner de det i hvert fald.