Simple modeller med kompleks adfærd, dvs. kaos

Computeren er et værktøj, der i stigende grad bliver brugt af videnskabsmænd til at afsløre hemmeligheder omhyggeligt skjult af naturen. Modellering, sammen med eksperimenter og teori, er ved at blive den tredje måde at studere verden på.

For tre år siden på universitetet i Schlesien startede vi et program til at integrere computermetoder i undervisningen. Som et resultat er der skabt en række ekstremt engagerende undervisningsmaterialer, der gør det nemmere og mere dybdegående at udforske mange emner. Det primære værktøj, der blev valgt, var Python, som sammen med kraften i tilgængelige videnskabelige biblioteker nok er den bedste løsning til "computereksperimenter" med ligninger, billeder eller data. En af de mest interessante implementeringer af et fuldgyldigt skrivebordsmiljø er Sage [2]. Det er en åben integration af et computeralgebrasystem med Python-sproget og giver dig også mulighed for straks at begynde at spille ved hjælp af en webbrowser og en af ​​de mulige adgangsmuligheder gennem en cloud-tjeneste [3] eller en enkelt computerserver, hvorpå den interaktive version af denne artikel er baseret på [4] .

Kaos i økologi

I sine tidlige år på Oxford University studerede den australske videnskabsmand Robert May de teoretiske aspekter af demografisk dynamik. Han opsummerede sit arbejde i et papir, der udkom i tidsskriftet Nature med den provokerende titel "Simple matematiske modeller med meget kompleks dynamik." Gennem årene er dette papir blevet et af de mest citerede værker inden for teoretisk økologi. Hvad vakte en sådan interesse for dette arbejde?

Det klassiske problem med populationsdynamik er at beregne den fremtidige population af en given art, givet dens nuværende tilstand. Matematisk var de enkleste økosystemer dem, hvor livet for en generation af en befolkning varer en sæson. Et godt eksempel er en population af insekter, der gennemgår fuldstændig metamorfose på én sæson, såsom sommerfugle. Tiden opdeles naturligt i diskrete perioder2 svarende til befolkningens livscyklusser. Således har ligningerne, der beskriver et sådant økosystem, naturligvis de såkaldte diskret tid, dvs. t = 1,2,3…. Robert May var blandt andet involveret i en sådan dynamik. I sin begrundelse forenklede han økosystemet til en enkelt art, hvis bestand var en kvadratisk funktion af det foregående års bestand. Hvor kom denne model fra?

Den enkleste diskrete ligning, der beskriver udviklingen af ​​en befolkning, er en lineær model:

hvor Ni er populationen i den i-te sæson, og Ni + 1 beskriver populationen i den næste sæson. Det er let at se, at en sådan ligning kan føre til tre scenarier. Når a = 1, vil evolutionen ikke ændre befolkningsstørrelsen, og <1 fører til udryddelse, og tilfældet a > 1 betyder ubegrænset befolkningstilvækst. Dette vil føre til en ubalance i naturen. Da alt i naturen er begrænset, giver det mening at justere denne ligning for at tage højde for den begrænsede mængde ressourcer. Forestil dig, at skadedyr spiser den samme mængde korn hvert år. Hvis insekter er få i antal i forhold til mængden af ​​føde, de kan formere sig, kan de formere sig ved fuld forplantningsevne, matematisk bestemt af konstanten a > 1. Men efterhånden som skadedyrsantallet stiger, vil føden blive knap, og forplantningsevnen vil falde. I et kritisk tilfælde kan man forestille sig, at der fødes så mange insekter, at de spiser alt kornet, før de når at formere sig, og bestanden dør. En model, der tager højde for denne effekt af begrænset adgang til mad, blev først foreslået af Verhulst i 1838. I denne model er vækstraten ikke konstant, men afhænger af befolkningens tilstand:

Forholdet mellem væksthastighed a og Ni bør have følgende egenskab: hvis befolkningen stiger, bør vækstraten falde, fordi adgangen til mad er vanskelig. Selvfølgelig er der mange funktioner med denne egenskab: disse er top-down funktioner. Verhulst foreslog følgende forhold:

hvor a>0 og konstant K>0 karakteriserer føderessourcer og kaldes miljøets kapacitet. Hvordan påvirker en ændring i K befolkningstilvæksten? Hvis K stiger, falder Ni/K. Til gengæld fører dette til, at 1-Ni/K stiger, hvilket betyder, at den stiger. Det betyder, at vækstraten er stigende, og befolkningen vokser hurtigere. Så lad os modificere den tidligere model (1) ved at antage, at vækstraten varierer som i ligning (3). Så får vi ligningen

Denne ligning kan skrives som en rekursiv ligning

hvor xi = Ni / K og xi + 1 = Ni + 1 / K angiver de reskalerede befolkningsmængder på tidspunktet i og på tidspunktet i + 1. Ligning (5) kaldes den logistiske ligning.

Det kan se ud til, at med så lille en modifikation er vores model nem at analysere. Lad os tjekke det ud. Lad os overveje ligning (5) for parameteren a = 0.5, startende fra den indledende population x0 = 0.45. Konsekutive populationsværdier kan opnås ved hjælp af rekursiv ligning (5):

x₁= økse₀(1 s₀)

x₂= økse₁(1 s₁)

x₃= økse₂(1 s₂)

For at lette beregningerne i (6) kan vi bruge følgende program (det er skrevet i Python og kan blandt andet køres på Sage platformen. Vi anbefaler at du læser bogen http://icse.us. edu .pl/e-book .), simulerer vores model:

a = 0.5 x = 0.45 for i i området (10):      x = a*x*(1–x)      print x

Vi beregner successive værdier af xi og bemærker, at de har en tendens til nul. Ved at eksperimentere med ovenstående kode er det også nemt at se, at dette er sandt uanset startværdien af ​​x0. Det betyder, at befolkningen konstant dør.

I anden fase af analysen øger vi værdien af ​​parameteren a til en hvilken som helst værdi i området ae (1,3). Det viser sig, at så går sekvensen xi til et vist tal x * > 0. Fortolker man dette ud fra et økologisk synspunkt, kan vi sige, at bestandsstørrelsen ligger fast på et vist niveau, som ikke ændrer sig fra sæson til sæson. Det er værd at bemærke, at værdien af ​​x * ikke afhænger af starttilstanden x0. Dette er effekten af, at økosystemet stræber efter stabilisering - befolkningen tilpasser sin størrelse til evnen til at brødføde sig selv. Matematisk siger de, at systemet tenderer til et stabilt fikspunkt, dvs. opfylder ligheden x = f(x) (dette betyder, at i det næste øjeblik er tilstanden den samme som i det foregående øjeblik). Ved at bruge Sage kan vi visualisere denne udvikling grafisk ved at plotte befolkning versus tid.

Denne stabiliserende effekt var forventet af forskerne, og den logistiske ligning (5) ville ikke have tiltrukket sig den store opmærksomhed, hvis det ikke var for overraskelsen. Det viste sig, at for visse værdier af parameteren opfører model (5) sig på en uforudsigelig måde. For det første er der periodiske og multi-periodiske tilstande. For det andet ændrer befolkningen sig ujævnt med hvert tidstrin, som tilfældig bevægelse. For det tredje er der stor følsomhed over for begyndelsesbetingelser: to næsten uadskillelige begyndelsesbetingelser fører til helt forskellig befolkningsudvikling. Alle disse træk er karakteristiske for adfærd, der ligner fuldstændig tilfældig bevægelse og kaldes deterministisk kaos.

Lad os udforske denne ejendom!

Lad os først indstille parameterværdien a = 3.2 og se på udviklingen. Det kan virke overraskende, at bestanden denne gang ikke når én værdi, men to, som forekommer fortløbende hver anden sæson. Det viste sig dog, at problemerne ikke stoppede der. Ved a = 4 er systemet ikke længere forudsigeligt. Lad os se på figur (2) eller selv generere en talfølge ved hjælp af en computer. Resultaterne ser ud til at være rent tilfældige og ret forskellige for lidt forskellige startpopulationer. Den opmærksomme læser bør dog protestere. Hvordan kan et system beskrevet af en deterministisk ligning1, selv en meget simpel, opføre sig uforudsigeligt? Tja, måske.

Et særligt træk ved dette system er dets bemærkelsesværdige følsomhed over for begyndelsesforhold. Det er nok at starte med to begyndelsesbetingelser, der adskiller sig med en del i en million, og i løbet af få skridt vil vi få helt forskellige befolkningsværdier. Lad os se på computeren:

a = 4.0

x = 0.123 u=0.123+0.000001 PKC = [] for i i området (25): x = a*x*(1-x) u = a*u*(1-u) print x, y

Her er en simpel model for deterministisk evolution. Men denne determinisme er vildledende, den er bare matematisk determinisme. Fra et praktisk synspunkt opfører systemet sig uforudsigeligt, fordi vi aldrig matematisk kan specificere startbetingelserne. Faktisk bestemmes alt med en vis nøjagtighed: hver måleenhed har en vis nøjagtighed, og dette kan forårsage praktisk uforudsigelighed i deterministiske systemer, der har egenskaben kaos. Et eksempel er vejrudsigtsmodeller, som altid udviser egenskaben kaos. Det er derfor, langsigtede vejrudsigter er så dårlige.

Analysen af ​​kaotiske systemer er ekstremt vanskelig. Men vi kan løse mange af kaos mysterier ganske let ved hjælp af computersimuleringer. Lad os tegne det såkaldte bifurkationsdiagram, hvorpå vi placerer værdierne af parameteren a langs abscisseaksen og stabile faste punkter i den logistiske kortlægning langs ordinataksen. Vi får stabile point ved at simulere et stort antal systemer på samme tid og plotte værdier efter mange prøvetider. Som du måske kan gætte, kræver dette mange beregninger. Lad os prøve at "pænt" behandle følgende værdier:

import numpy som np Nx = 300 Det = 500 х = f.eks. lineærrum (0,1, Nx) х = х + np.nuller((Na,Nx)) h = np.transponere (h) a=np.linspace(1,4,Na) a=a+np.nul((Nx,Na)) for i i området (100): x=a*x*(1-x) pt = [[a_,x_] for a_,x_ in zip(a.flatten(),x.flatten())] punkt (pt, størrelse = 1, figenstørrelse = (7,5))

Vi bør ende med noget, der ligner figur (3). Hvordan fortolker man denne tegning? For eksempel, med parameteren a = 3.3, har vi 2 stabile fikspunkter (populationsstørrelsen er den samme hver anden sæson). For parameteren a = 3.5 har vi dog 4 konstantpunkter (hver fjerde sæson har populationen samme størrelse), og for parameteren a = 3.56 har vi 8 konstantpunkter (hver ottende sæson har populationen samme størrelse). Men for parameter a≈3.57 har vi uendeligt mange fikspunkter (populationsstørrelsen gentager sig aldrig og ændrer sig på en uforudsigelig måde). Men med et computerprogram kan vi ændre omfanget af parameteren a og udforske den uendelige geometriske struktur af dette diagram med vores egne hænder.

Dette er kun toppen af ​​isbjerget. Der er skrevet tusindvis af videnskabelige artikler om denne ligning, men den skjuler stadig sine hemmeligheder. Ved hjælp af computermodellering kan du, selv uden at ty til højere matematik, spille som en pioner i verden af ​​ikke-lineær dynamik. Vi inviterer dig til at læse onlineversionen, som indeholder detaljer om mange interessante egenskaber ved den logistiske ligning og interessante måder at visualisere dem på.

¹ En deterministisk lov er en lov, hvor fremtiden er entydigt bestemt af den oprindelige tilstand. Antonymet er sandsynlighedsloven. ² I matematik betyder "diskret" at opnå værdier fra et specifikt tælleligt sæt. Det modsatte af "kontinuerlig".