Omvendt charme

Der tales meget om "modsætningernes charme", og ikke kun i matematik. Husk, at modstående tal er dem, der kun adskiller sig i fortegn: plus 7 og minus 7. Summen af ​​modsatte tal er nul. Men for os (dvs. matematikere) er gensidigheden mere interessant. Hvis produktet af tal er lig med 1, så er disse tal omvendt til hinanden. Hvert tal har sin modsætning, hvert ikke-nul tal har sin inverse. Det reciproke af det reciproke er frøet.

Inversion forekommer overalt, hvor to mængder er relateret til hinanden, således at hvis den ene stiger, falder den anden med en tilsvarende hastighed. "Relevant" betyder, at produktet af disse mængder ikke ændres. Vi husker fra skolen: dette er et omvendt forhold. Hvis jeg vil komme til min destination dobbelt så hurtigt (dvs. halvere tiden), skal jeg fordoble min hastighed. Hvis volumenet af en forseglet beholder med gas reduceres med n gange, vil dens tryk stige med n gange.

I grunduddannelsen skelner vi nøje mellem differentielle og relative sammenligninger. "Hvor meget mere"? – "Hvor mange gange mere?"

Her er nogle skoleaktiviteter:

1 job. Af de to positive værdier er den første 5 gange større end den anden og samtidig 5 gange større end den første. Hvad er dimensionerne?

2 job. Hvis et tal er 3 større end det andet, og det andet er 2 større end det tredje, hvor meget større er det første tal end det tredje? Hvis det første positive tal er to gange det andet, og det første tal er tre gange det tredje, hvor mange gange er det første tal større end det tredje?

3 job. I opgave 2 er kun naturlige tal tilladt. Er en sådan ordning som beskrevet der mulig?

4 job. Af de to positive værdier er den første 5 gange den anden, og den anden er 5 gange den første. Er det muligt?

Begrebet "gennemsnit" eller "gennemsnit" virker meget simpelt. Cyklede jeg 55 km mandag, 45 km tirsdag og 80 km onsdag, cyklede jeg i gennemsnit 60 km om dagen. Vi er helt enige i disse beregninger, selvom de er lidt mærkelige, fordi jeg ikke har kørt 60 km på én dag. Vi accepterer lige så nemt en persons aktier: Hvis to hundrede mennesker besøger en restaurant inden for seks dage, så er den gennemsnitlige daglige rate 33 og en tredjedel. Hm!

Der er kun problemer med den gennemsnitlige størrelse. Jeg kan godt lide at cykle. Så jeg benyttede mig af tilbuddet fra rejsebureauet "Let's go with us" - de leverer bagage til hotellet, hvor kunden cykler i rekreative formål. Fredag ​​kørte jeg i fire timer: de første to med en hastighed på 24 km i timen. Så blev jeg så træt, at de næste to med en hastighed på kun 16 i timen. Hvad var min gennemsnitlige hastighed? Selvfølgelig (24+16)/2=20km=20km/t.

Lørdag blev bagagen dog efterladt på hotellet, og jeg gik for at se ruinerne af slottet, som ligger 24 km væk, og efter at have set dem, vendte jeg tilbage. Jeg kørte en time i én retning, vendte langsommere tilbage med en hastighed på 16 km i timen. Hvad var min gennemsnitshastighed på ruten hotel-slot-hotel? 20 km i timen? Selvfølgelig ikke. Jeg kørte jo i alt 48 km, og det tog mig halvanden time ("der") og halvanden time tilbage. 48 km på to en halv time, dvs. time 48/2,5=192/10=19,2 km! I denne situation er gennemsnitshastigheden ikke det aritmetiske middelværdi, men den harmoniske af de givne værdier:

og denne to-etagers formel kan læses som følger: den harmoniske middelværdi af positive tal er den reciproke af det aritmetiske middelværdi af deres reciproke. Det gensidige af summen af ​​gensidigheden optræder i mange kor af skoleopgaver: hvis den ene arbejder graver timer, den anden - b timer, så graver de sammen til tiden. vandbassin (en i timen, den anden ved b timer). Hvis den ene modstand har R1 og den anden har R2, så har de en parallel modstand. 

Hvis en computer kan løse et problem på få sekunder, en anden computer på b sekunder, så når de arbejder sammen...

Hold op! Det er her analogien slutter, fordi alt afhænger af netværkets hastighed: effektiviteten af ​​forbindelserne. Arbejdere kan også hindre eller hjælpe hinanden. Hvis én mand kan grave en brønd på otte timer, kan firs arbejdere så gøre det på 1/10 af en time (eller 6 minutter)? Hvis seks portører tager klaveret til første sal på 6 minutter, hvor lang tid vil det så tage en af ​​dem at levere klaveret til tresindstyvende sal? Det absurde i sådanne problemer leder tankerne hen på den begrænsede anvendelighed af al matematik på problemer "fra livet".

Kære sælger 

Vægten bruges ikke længere. Husk på, at en vægt blev anbragt på den ene skål af sådanne vægte, og de varer, der vejedes, blev placeret på den anden, og når vægten var i ligevægt, så vejede godset lige så meget som vægten. Selvfølgelig skal begge arme på vægtlasten være lige lange, ellers bliver vejningen forkert.

Åh rigtigt. Forestil dig en sælger, der har en vægt med ulige gearing. Han vil dog være ærlig over for kunderne og vejer varerne i to omgange. Først lægger han en vægt på den ene pande, og på den anden en tilsvarende mængde varer – så vægten er i balance. Derefter vejer han den anden "halvdel" af varerne i omvendt rækkefølge, det vil sige, han lægger vægten på den anden skål og varerne på den første. Da hænderne er ulige, er "halvdelene" aldrig lige. Og sælgers samvittighed er ren, og købere roser hans ærlighed: "Det jeg fjernede her, tilføjede jeg så."

Lad os dog se nærmere på adfærden hos en sælger, der ønsker at være ærlig på trods af den prekære vægt. Lad vægtens arme have længderne a og b. Hvis en af ​​skålene er fyldt med en kilovægt og den anden med x varer, så er vægten i ligevægt, hvis ax = b første gang og bx = a anden gang. Så den første del af varerne er lig med b / et kilogram, den anden del er a / b. God vægt har a = b, så køber modtager 2 kg varer. Lad os se, hvad der sker, når a ≠ b. Så a – b ≠ 0 og fra den reducerede multiplikationsformel vi har

Vi kom til et uventet resultat: den tilsyneladende retfærdige metode til at "gennemsnitte" målingen i dette tilfælde virker til fordel for køberen, som modtager flere varer.

Opgave 5. (Vigtigt, på ingen måde i matematik!). En myg vejer 2,5 milligram, og en elefant fem tons (dette er helt korrekte data). Beregn det aritmetiske middelværdi, geometriske middelværdi og harmoniske middelværdi af myg- og elefantmasserne (vægtene). Tjek beregningerne og se, om de giver mening udover regneøvelser. Lad os se på andre eksempler på matematiske beregninger, der ikke giver mening i "det virkelige liv". Tip: Vi har allerede set på et eksempel i denne artikel. Betyder det, at en anonym studerende, hvis mening jeg fandt på internettet, havde ret: "Matematik narre folk med tal"?

Ja, jeg er enig i, at i matematikkens storhed kan du "narre" folk - hver anden shampoo-reklame siger, at det øger luftigheden med nogle procent. Skal vi lede efter andre eksempler på brugbare hverdagsredskaber, der kan bruges til kriminel aktivitet?

Gram!

Titlen på denne passage er et verbum (første person flertal) ikke et substantiv (nominativ flertal af en tusindedel af et kilogram). Harmoni indebærer orden og musik. For de gamle grækere var musikken en gren af ​​videnskaben – det må indrømmes, at hvis vi siger det, overfører vi den nuværende betydning af ordet "videnskab" til tiden før vor tidsregning. Pythagoras levede i det XNUMX. århundrede f.Kr.. Han kendte ikke kun ikke computeren, mobiltelefonen og e-mailen, men han vidste heller ikke, hvem Robert Lewandowski, Mieszko I, Charlemagne og Cicero var. Han kunne hverken arabiske eller endda romertal (de kom i brug omkring det XNUMX. århundrede f.Kr.), han vidste ikke, hvad de puniske krige var ... Men han kunne musik ...

Han vidste, at på strengeinstrumenter var vibrationskoefficienterne omvendt proportional med længden af ​​de vibrerende dele af strengene. Han vidste, han vidste, han kunne bare ikke udtrykke det, som vi gør det i dag.

Frekvenserne af de to strengvibrationer, der udgør en oktav, er i forholdet 1:2, det vil sige, at frekvensen af ​​den højere tone er dobbelt så stor som frekvensen af ​​den nederste. Det korrekte vibrationsforhold for femte er 2:3, fjerde er 3:4, ren større terts er 4:5, mindre tredje er 5:6. Det er behagelige konsonantintervaller. Så er der to neutrale med vibrationsforhold på 6:7 og 7:8, så dissonante - en stor tone (8:9), en lille tone (9:10). Disse brøker (forhold) er som forholdet mellem successive medlemmer af en sekvens, som matematikere (af netop denne grund) kalder den harmoniske række:

er en teoretisk uendelig sum. Forholdet mellem oktavens svingninger kan skrives som 2:4 og sætte en kvint imellem dem: 2:3:4, det vil sige, at vi deler oktaven i en kvint og en fjerde. Dette kaldes harmonisk segmentopdeling i matematik:

Ris. 1. For en musiker: opdeling af oktaven AB i den femte AC.For matematiker: Harmonisk segmentering

Hvad mener jeg, når jeg taler (over) om en teoretisk uendelig sum, såsom den harmoniske række? Det viser sig, at en sådan sum kan være et hvilket som helst stort tal, det vigtigste er, at vi tilføjer i lang tid. Der er færre og færre ingredienser, men der er flere og flere af dem. Hvad hersker? Her træder vi ind i den matematiske analyses område. Det viser sig, at ingredienserne er opbrugt, men ikke særlig hurtigt. Jeg vil vise, at ved at tage nok ingredienser kan jeg opsummere:

vilkårligt stor. Lad os tage "for eksempel" n = 1024. Lad os gruppere ordene som vist på figuren:

I hver parentes er hvert ord større end det foregående, undtagen naturligvis det sidste, som er lig med sig selv. I de følgende parenteser har vi 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 og 512 komponenter; værdien af ​​summen i hver parentes er større end ½. Alt dette er mere end 5½. Mere nøjagtige beregninger ville vise, at dette beløb er cirka 7,50918. Ikke meget, men altid, og du kan se, at ved at tage et stort antal, kan jeg overgå ethvert tal. Denne er utrolig langsom (for eksempel topper vi ti med ingredienser alene), men uendelig vækst har altid fascineret matematikere.

Rejs til det uendelige med den harmoniske serie

Her er et puslespil til noget ret seriøst matematik. Vi har et ubegrænset udbud af rektangulære blokke (hvad kan jeg sige, rektangulære!) med dimensioner, f.eks. 4 × 2 × 1. Overvej et system bestående af flere (på fig. 2 - fire) blokke, arrangeret således, at den første hælder med ½ af sin længde, den anden ovenfra med ¼ og så videre, den tredje med en sjettedel. Nå, måske for at gøre det rigtig stabilt, lad os vippe den første klods lidt mindre. Det betyder ikke noget for beregningerne.

Ris. 2. Bestemmelse af tyngdepunktet

Det er også let at forstå, at da figuren, der er sammensat af de to første blokke (tæller ovenfra) har et symmetricentrum i punkt B, så er B tyngdepunktet. Lad os geometrisk definere systemets tyngdepunkt, der består af de tre øverste blokke. Et meget simpelt argument er tilstrækkeligt her. Lad os mentalt opdele trebloksammensætningen i to øverste og en tredje nederste. Dette centrum skal ligge på den sektion, der forbinder tyngdepunkterne for de to dele. På hvilket tidspunkt i denne episode?

Der er to måder at udpege. I den første vil vi bruge den observation, at dette centrum skal ligge i midten af ​​treblokpyramiden, altså på en lige linje, der skærer den anden, midterste blok. På den anden måde forstår vi, at da de to øverste blokke har en samlet masse på det dobbelte af en enkelt blok #3 (øverst), skal tyngdepunktet på denne sektion være dobbelt så tæt på B som det er på midten S for tredje blok. På samme måde finder vi det næste punkt: vi forbinder det fundne centrum af de tre blokke med midten S af den fjerde blok. Hele systemets centrum er i højden 2 og på det punkt, der deler segmentet med 1 til 3 (det vil sige med ¾ af dets længde).

De beregninger, som vi vil udføre lidt længere, fører til resultatet vist i fig. fig. 3. På hinanden følgende tyngdepunkter fjernes fra højre kant af den nederste blok ved at:

Således er projektionen af ​​pyramidens tyngdepunkt altid inden for basen. Tårnet vil ikke vælte. Lad os nu se på fig. 3 og et øjeblik, lad os bruge den femte blok fra toppen som base (den markeret med den lysere farve). Top tilbøjelig:

således er dens venstre kant 1 længere end den højre kant af basen. Her er næste sving:

Hvad er det største sving? Vi ved det allerede! Der er ingen største! Tager du selv de mindste blokke, kan du få et udhæng på en kilometer - desværre kun matematisk: hele Jorden ville ikke være nok til at bygge så mange blokke!

Ris. 3. Tilføj flere blokke

Nu de beregninger, som vi forlod ovenfor. Vi vil beregne alle afstande "vandret" på x-aksen, for det er alt, hvad der er. Punkt A (tyngdepunktet for den første blok) er 1/2 fra højre kant. Punkt B (midten af ​​systemet med to blokke) er 1/4 væk fra højre kant af den anden blok. Lad udgangspunktet være slutningen af ​​den anden blok (nu går vi videre til den tredje). For eksempel, hvor er tyngdepunktet for enkelt blok #3? Halvdelen af ​​længden af ​​denne blok er derfor 1/2 + 1/4 = 3/4 fra vores referencepunkt. Hvor er punkt C? I to tredjedele af segmentet mellem 3/4 og 1/4, dvs. på punktet før, ændrer vi referencepunktet til højre kant af den tredje blok. Trebloksystemets tyngdepunkt er nu fjernet fra det nye referencepunkt og så videre. Tyngdepunkt C_n et tårn sammensat af n blokke er 1/2n væk fra det øjeblikkelige referencepunkt, som er den højre kant af basisblokken, dvs. den n'te blok fra toppen.

Da rækken af ​​gensidige divergerer, kan vi få enhver stor variation. Kunne dette rent faktisk implementeres? Det er som et endeløst murstenstårn – før eller siden vil det kollapse under sin egen vægt. I vores skema betyder de minimale unøjagtigheder i blokplacering (og den langsomme stigning i delsummer af serien), at vi ikke kommer ret langt.