Lem, Tokarczuk, Krakow, matematik

Den 3.-7. september 2019 fandt jubilæumskongressen for Polish Mathematical Society sted i Krakow. Jubilæum, fordi 1-året for foreningens stiftelse. Den eksisterede i Galicien fra 1919. år (uden adjektivet om, at kejseren FJ1919's polsk-liberalisme havde sine grænser), men som landsdækkende organisation fungerede den først fra 1939. Store fremskridt inden for polsk matematik går tilbage til XNUMX'erne XNUMX-XNUMX. XNUMX på Jan Casimir Universitetet i Lviv, men stævnet kunne ikke finde sted der - og det er heller ikke den bedste idé.

Mødet var meget festligt, fyldt med ledsagende begivenheder (inklusive en optræden af ​​Jacek Wojcicki på slottet i Niepolomice). Hovedforedragene blev holdt af 28 talere. De var på polsk, fordi de inviterede gæster var polakker – ikke nødvendigvis i betydningen statsborgerskab, men genkendte sig selv som polakker. Åh ja, kun tretten undervisere kom fra polske videnskabelige institutioner, de resterende femten kom fra USA (7), Frankrig (4), England (2), Tyskland (1) og Canada (1). Nå, dette er et velkendt fænomen i fodboldligaer.

De bedste optræder konstant i udlandet. Det er lidt trist, men frihed er frihed. Adskillige polske matematikere har gjort oversøiske karrierer, der er uopnåelige i Polen. Penge spiller en sekundær rolle her, men jeg ønsker ikke at skrive om sådanne emner. Måske kun to kommentarer.

I Rusland, og før det i Sovjetunionen, var og er dette på det mest bevidste niveau ... og på en eller anden måde ønsker ingen at emigrere dertil. Til gengæld søger omkring et dusin kandidater i Tyskland om et professorat på ethvert universitet (kolleger fra universitetet i Konstanz sagde, at de havde 120 ansøgninger på et år, hvoraf 50 var meget gode, og 20 var fremragende).

Få af jubilæumskongressens foredrag kan opsummeres i vores månedlige journal. Overskrifter som "Grænser for sparsomme grafer og deres anvendelser" eller "Lineær struktur og geometri af underrum og faktorrum for højdimensionelle normaliserede rum" vil ikke fortælle den gennemsnitlige læser noget. Det andet emne blev introduceret af min ven fra de første kurser, Nicole Tomchak.

For nogle år siden blev hun nomineret for den præstation, der blev præsenteret i dette foredrag. Fields medalje svarer til matematikere. Indtil videre har kun én kvinde modtaget denne pris. Også værd at bemærke er foredraget Anna Marciniak-Chohra (Heidelberg University) "Rollen af ​​mekanistiske matematiske modeller i medicin på eksemplet med leukæmimodellering".

ind i medicin. På universitetet i Warszawa har en gruppe ledet af prof. Jerzy Tyurin.

Titlen på foredraget vil være uforståelig for læserne Veslava Niziol (z prestiżowej Højere Pædagogiske Skole) “-adic Hodge teori". Ikke desto mindre er det dette foredrag, jeg har besluttet at diskutere her.

Geometri-adiske verdener

Det starter med simple små ting. Kan du huske, læser, metoden til skriftlig udveksling? Helt bestemt. Tænk tilbage på folkeskolens ubekymrede år. Divider 125051 med 23 (dette er handlingen til venstre). Ved du, at det kan være anderledes (handling til højre)?

Denne nye metode er interessant. Jeg går fra slutningen. Vi skal dividere 125051 med 23. Hvad skal vi gange 23 med, så det sidste ciffer er 1? Søger i hukommelsen og vi har :=7. Det sidste ciffer i resultatet er 7. Gang, træk fra, vi får 489. Hvordan ganger man 23 for at ende med 9? Selvfølgelig med 3. Vi kommer til det punkt, hvor vi bestemmer alle tallene for resultatet. Vi finder det upraktisk og sværere end vores sædvanlige metode – men det er et spørgsmål om øvelse!

Tingene tager en anden drejning, når den modige mand ikke er helt delt af divisoren. Lad os lave opdelingen og se, hvad der sker.

Til venstre er en typisk skolebane. Til højre ses "vores mærkelige".

Vi kan kontrollere begge resultater ved at gange. Vi forstår den første: en tredjedel af tallet 4675 er tusind fem hundrede og otteoghalvtreds, og tre i perioden. Den anden giver ikke mening: hvad er dette tal efter et uendeligt antal seksere og derefter 8225?

Lad os forlade spørgsmålet om mening et øjeblik. Lad os lege. Så lad os dividere 1 med 3 og derefter 1 med 7, hvilket er en tredjedel og en syvendedel. Vi kan nemt få:

1:3=…6666667, 1/7=…(285714)3.

Denne sidste linje betyder: blok 285714 gentages på ubestemt tid i begyndelsen, og til sidst er der tre af dem. For dem, der ikke tror, ​​er her en test:

Lad os nu tilføje brøker:

Så lægger vi de modtagne mærkelige tal sammen, og vi får (tjek) det samme mærkelige tal.

......95238095238095238095238010

Vi kan kontrollere, at dette er lig med

Essensen er endnu ikke set, men regnestykket er korrekt.

Endnu et eksempel.

Det sædvanlige, omend stort, nummer 40081787109376 har en interessant egenskab: dens plads ender også på 40081787109376. nummer x40081787109376, hvilket er ( x40081787109376)² ender også på x40081787109376.

Tip. Vi har 40081787109376²= 16065496 57881340081787109376, så det næste ciffer er tre til ti's komplement, hvilket er 7. Lad os tjekke: 740081787109376²= 5477210516110077400817 87109376.

Spørgsmålet om, hvorfor det er sådan, er svært. Det er nemmere: find lignende endelser for tal, der ender på 5. Fortsætter processen med at finde de næste cifre i det uendelige, kommer vi til sådanne "tal", at ²=²= (og ingen af ​​disse tal er lig med nul eller en).

vi forstår godt. Jo længere efter decimaltegnet, jo mindre vigtigt er tallet. I tekniske beregninger er det første ciffer efter decimalpunktet vigtigt, såvel som det andet, men i mange tilfælde kan det antages, at forholdet mellem omkredsen af ​​en cirkel og dens diameter er 3,14. Selvfølgelig skal flere tal med i luftfartsbranchen, men jeg tror ikke, der kommer flere end ti.

Navnet optrådte i artiklens titel Stanislav Lem (1921-2006), samt vores nye nobelpristager. Dame Olga Tokarchuk Jeg nævnte kun dette pga skrigende uretfærdighedFaktum er, at Stanislav Lem ikke modtog Nobelprisen i litteratur. Men det er ikke i vores hjørne.

Lem forudså ofte fremtiden. Han spekulerede på, hvad der ville ske, når de blev uafhængige af mennesker. Hvor mange film om dette emne er der dukket op på det seneste! Lem forudsagde og beskrev ret præcist den optiske læser og fremtidens farmakologi.

Han kunne matematik, selv om han nogle gange behandlede det som et ornament, uden at bekymre sig om rigtigheden af ​​beregningerne. For eksempel går Pirks-piloten i historien "Trial" i kredsløb B68 med en rotationsperiode på 4 timer 29 minutter, og instruktionen er 4 timer 26 minutter. Han husker, at de har regnet med en fejl på 0,3 pct. Han giver dataene til Lommeregneren, og Lommeregneren svarer, at alt er i orden ... Nå, nej. Tre tiendedele af en procent af 266 minutter er mindre end et minut. Men ændrer denne fejl noget? Måske var det med vilje?

Hvorfor skriver jeg om dette? Mange matematikere har også rejst dette spørgsmål: forestil dig et fællesskab. De har ikke vores menneskelige sind. For os er 1609,12134 og 1609,23245 meget tætte tal - gode tilnærmelser til den engelske mile. Computere kan dog betragte numrene 468146123456123456 og 9999999123456123456 som tætte. De har de samme tolvcifrede slutninger.

Jo mere almindelige cifre i slutningen, jo tættere er tallene. Og det fører til den såkaldte afstand -adic. Lad p være lig med 10 i et øjeblik; hvorfor lige "for et stykke tid", vil jeg forklare ... nu. 10 point afstanden af ​​tallene skrevet ovenfor er 

eller en milliontedel - fordi disse tal har seks fælles cifre i slutningen. Alle heltal adskiller sig fra nul med én eller mindre. Jeg vil ikke engang skrive en skabelon, fordi det er ligegyldigt. Jo flere identiske tal i slutningen, jo tættere er tallene (for en person, tværtimod, betragtes de indledende tal). Det er vigtigt, at p er et primtal.

Så - de kan lide nuller og etaller, så de ser alt i disse mønstre: 0100110001 1010101101010101011001010101010101111.

I romanen Glos Pana hyrer Stanisław Lem videnskabsmænd til at prøve at læse en besked sendt fra efterlivet, kodet nul-et selvfølgelig. Er der nogen, der skriver til os? Lem hævder, at "enhver besked kan læses, hvis det er en besked om, at nogen ville fortælle os noget." Men er det? Jeg vil efterlade læserne med dette dilemma.

Vi lever i XNUMXD-rum R³. Brev R minder om, at akserne består af reelle tal, dvs. heltal, negative og positive, nul, rationelle (dvs. brøker) og irrationelle, som læsere mødte i skolen (), og tal kendt som transcendentale tal, utilgængelige i algebra (dette er tallet π , som har forbundet diameteren af ​​en cirkel med dens omkreds i mere end to tusinde år).

Hvad hvis akserne i vores rum var -adiske tal?

Jerzy Mioduszowski, en matematiker ved universitetet i Schlesien, hævder, at det kunne være sådan, og endda at det kunne være sådan. Vi kan (siger Jerzy Mioduszewski) indtage det samme sted i rummet med sådanne væsener, uden at blande os og uden at se hinanden.

Så vi har al geometrien i "deres" verden at udforske. Det er usandsynligt, at "de" tænker på samme måde om os og også studerer vores geometri, fordi vores er et grænsetilfælde af alle "deres" verdener. "Dem", altså alle helvedes verdener, hvor de er primtal. Især = 2 og denne fascinerende verden af ​​nul-en ...

Her kan læseren af ​​artiklen blive vred og endda vred. "Er det den slags nonsens, matematikere laver?" De fantaserer om at drikke vodka efter aftensmaden, og bruge mine (=skatteyders) penge. Og spred dem i fire vinde, lad dem gå til statsbrug ... åh, der er ikke flere statsgårde!

Slap af. de havde altid en forkærlighed for sådanne vittigheder. Lad mig lige nævne sandwich-sætningen: Hvis jeg har en ost og skinkesandwich, kan jeg skære den i et snit for at halvere bollen, skinken og osten. Dette er nytteløst i praksis. Pointen er, at dette blot er en legende anvendelse af en interessant generel sætning fra funktionel analyse.

Hvor alvorligt er det at beskæftige sig med -adiske tal og tilhørende geometri? Lad mig minde læseren om, at rationelle tal (forenklet: brøker) ligger tæt på linjen, men ikke fylder den tæt.

Irrationelle tal lever i "huller". Der er mange, uendeligt mange af dem, men man kan også sige, at deres uendelighed er større end den simpleste, hvori vi tæller: en, to, tre, fire ... og så videre op til ∞. Dette er vores menneskelige udfyldning af "huller". Vi har arvet denne mentale struktur fra Pythagoræere. 

Men det, der er interessant og vigtigt for en matematiker, er, at man ikke kan "fylde" disse huller med irrationelle og p-adiske tal (for alle primtal p). For de læsere, der forstår dette (og dette blev undervist på alle gymnasier for tredive år siden), er pointen, at hver sekvens, der opfylder Cauchys tilstand, konvergerer.

Et rum, hvor dette er sandt, kaldes komplet ("intet mangler"). Jeg vil huske nummeret 547721051611007740081787109376.

Sekvensen 0,5, 0,54, 0,547, 0,5477, 0,54772 og så videre konvergerer til en vis grænse, som er cirka 0,5477210516110077400 81787109376.

Men set fra 10-adiske afstanden konvergerer rækkefølgen af ​​tallene 6, 76, 376, 9376, 109376, 7109376 og så videre også til det "mærkelige" tal ... 547721051 611007740081787109376.

Men selv det er måske ikke nok grund til at give videnskabsmænd offentlige penge. Generelt forsvarer vi (matematikere) os selv med, at det er umuligt at forudsige, hvad vores forskning vil være brugbar til. Det er næsten sikkert, at alle vil være til noget, og at kun handling på bred front har en chance for succes.

En af de største opfindelser, røntgenmaskinen, blev skabt, efter at radioaktivitet ved et uheld blev opdaget Becquerel. Hvis ikke for dette tilfælde, ville mange års forskning sandsynligvis have været ubrugelig. "Vi leder efter en måde at tage et røntgenbillede af den menneskelige krop."

Til sidst det vigtigste. Alle er enige om, at evnen til at løse ligninger spiller en rolle. Og her er vores mærkelige numre godt beskyttet. Den tilsvarende sætning (Jeg hader Minkowski) siger, at nogle ligninger kan løses i rationelle tal, hvis og kun hvis de har reelle rødder og rødder i hver -adisk krop.

Mere eller mindre denne tilgang er blevet præsenteret Andrew Wiles, som løste den mest berømte matematiske ligning i de sidste tre hundrede år - jeg anbefaler læserne at indtaste den i en søgemaskine "Fermats sidste sætning".