Geometriske stier og krat

Mens jeg skrev denne artikel, huskede jeg en meget gammel sang af Jan Pietrzak, som han sang før sin satiriske aktivitet i Pod Egidą-kabareten, anerkendt i Den Polske Folkerepublik som en sikkerhedsventil; man kunne ærlig talt grine af systemets paradokser. I denne sang anbefalede forfatteren socialistisk politisk deltagelse, latterliggjorde dem, der ønsker at være upolitiske, og slukkede for radioen i avisen. "Det er bedre at gå tilbage til skolen og læse," sang den dengang XNUMX-årige Petshak ironisk.

Jeg går tilbage til skolen og læser. Jeg genlæser (ikke for første gang) Shchepan Yelenskys (1881-1949) bog "Lylavati". For få læsere siger selve ordet noget. Dette er navnet på datteren til den berømte hinduistiske matematiker kendt som Bhaskara (1114-1185), ved navn Akaria, eller den vismand, der gav titlen sin bog om algebra med det navn. Lilavati blev senere selv en berømt matematiker og filosof. Ifølge andre kilder var det hende, der selv skrev bogen.

Szczepan Yelensky gav den samme titel til sin bog om matematik (første udgave, 1926). Det kan endda være svært at kalde denne bog for et matematisk værk – den var mere et sæt gåder og stort set omskrevet fra franske kilder (copyrights i moderne forstand fandtes ikke). I hvert fald var det i mange år den eneste populære polske bog om matematik - senere kom Jelenskys anden bog, Pythagoras' søde sager, til den. Så unge mennesker interesseret i matematik (hvilket er præcis, hvad jeg engang var) havde intet at vælge imellem ...

på den anden side skulle "Lilavati" kendes næsten udenad... Ah, der var tider... Deres største fordel var, at jeg var... teenager dengang. I dag ser jeg fra en veluddannet matematikers synspunkt på Lilavati på en helt anden måde - måske som en klatrer i svingene af stien til Shpiglasova Pshelench. Hverken den ene eller den anden mister sin charme ... I sin karakteristiske stil skriver Shchepan Yelensky, der bekender sig til de såkaldte nationale ideer i sit personlige liv, i forordet:

Uden at berøre beskrivelsen af ​​nationale karakteristika vil jeg sige, at selv efter halvfems år har Yelenskys ord om matematik ikke mistet deres relevans. Matematik lærer dig at tænke. Det er et faktum. Kan vi lære dig at tænke anderledes, mere enkelt og smukkere? Måske. Det er bare... vi kan stadig ikke. Jeg forklarer mine elever, der ikke ønsker at lave matematik, at dette også er en test af deres intelligens. Hvis du ikke kan lære en rigtig simpel matematisk teori, så... er dine mentale evner måske dårligere, end vi begge kunne tænke os...?

Tegn i sandet

Og her er den første historie i "Lylavati" - en historie beskrevet af den franske filosof Joseph de Maistre (1753-1821).

En sømand fra et forlist skib blev kastet af bølger på en tom kyst, som han anså for ubeboet. Pludselig, i kystsandet, så han et spor af en geometrisk figur tegnet foran nogen. Det var da, han indså, at øen ikke er øde!

Med henvisning til de Mestri skriver Yelensky: geometrisk figurdet vilde have været et stumt Udtryk for det ulykkelige, skibbrudne Tilfældighed, men han viste ham ved et Øjekast Proportion og Antal, og dette varslede en oplyst Mand. Så meget for historien.

Bemærk, at en sømand vil forårsage den samme reaktion, for eksempel ved at tegne bogstavet K, ... og eventuelle andre spor af en persons tilstedeværelse. Her er geometrien idealiseret.

Astronomen Camille Flammarion (1847-1925) foreslog imidlertid, at civilisationer hilser på hinanden på afstand ved hjælp af geometri. Han så heri det eneste rigtige og mulige forsøg på kommunikation. Lad os vise sådanne marsboere de pythagoræiske trekanter... de vil svare os med Thales, vi vil besvare dem med Vieta-mønstre, deres cirkel vil passe ind i en trekant, så et venskab begyndte...

Forfattere som Jules Verne og Stanislav Lem vendte tilbage til denne idé. Og i 1972 blev fliser med geometriske (og ikke kun) mønstre placeret ombord på Pioneer-sonden, som stadig krydser rummets vidder, nu næsten 140 astronomiske enheder fra os (1 I er jordens gennemsnitlige afstand fra Jorden) . Sol, dvs. omkring 149 millioner km). Flisen blev til dels designet af astronomen Frank Drake, skaberen af ​​den kontroversielle regel om antallet af udenjordiske civilisationer.

Geometri er fantastisk. Vi kender alle det generelle synspunkt om oprindelsen af ​​denne videnskab. Vi (vi mennesker) er lige begyndt at måle jorden (og senere jorden) til de mest utilitaristiske formål. At bestemme afstande, tegne lige linjer, markere rette vinkler og beregne volumener blev efterhånden en nødvendighed. Derfor det hele geometri ("Måling af jorden"), derfor al matematik ...

Men i nogen tid forplumrede dette klare billede af videnskabens historie os. For hvis matematik var nødvendig udelukkende til operationelle formål, ville vi ikke være engageret i at bevise simple teoremer. "Du kan se, at det overhovedet burde være sandt," ville man sige efter at have kontrolleret, at summen af ​​hypotenusernes kvadrater i flere retvinklede trekanter er lig med hypotenusens kvadrat. Hvorfor sådan en formalisme?

Blommetærte skal være lækker, computerprogrammet skal virke, maskinen skal virke. Hvis jeg talte tøndens kapacitet tredive gange, og alt er i orden, hvorfor ellers?

I mellemtiden gik det op for de gamle grækere, at der skulle findes nogle formelle beviser.

Så matematik begynder med Thales (625-547 f.Kr.). Det antages, at det var Milet, der begyndte at undre sig over hvorfor. Det er ikke nok for kloge mennesker, at de har set noget, at de er overbevist om noget. De så behovet for bevis, en logisk sekvens af argumenter fra antagelse til afhandling.

De ville også have mere. Det var sandsynligvis Thales, der først forsøgte at forklare fysiske fænomener på en naturalistisk måde, uden guddommelig indgriben. Europæisk filosofi begyndte med naturfilosofien – med det, der allerede ligger bag fysikken (deraf navnet: metafysik). Men grundlaget for europæisk ontologi og naturfilosofi blev lagt af pythagoræerne (Pythagoras, ca. 580-c. 500 f.Kr.).

Han grundlagde sin egen skole i Crotone på den sydlige del af Appenninerne - i dag vil vi kalde det en sekt. Videnskab (i ordets nuværende betydning), mystik, religion og fantasi hænger alle tæt sammen. Thomas Mann præsenterede meget smukt undervisningen i matematik i et tysk gymnasium i romanen Doktor Faustus. Oversat af Maria Kuretskaya og Witold Virpsha lyder dette fragment:

I Charles van Dorens interessante bog, The History of Knowledge from the Dawn of History to the Present Day, fandt jeg et meget interessant synspunkt. I et af kapitlerne beskriver forfatteren den pythagoræiske skoles betydning. Selve titlen på kapitlet slog mig. Den lyder: "The Invention of Mathematics: Pythagoræerne".

Vi diskuterer ofte, om matematiske teorier bliver opdaget (f.eks. ukendte lande) eller opfundet (f.eks. maskiner, der ikke eksisterede før). Nogle kreative matematikere ser sig selv som forskere, andre som opfindere eller designere, taler sjældnere imod.

Men forfatteren til denne bog skriver om opfindelsen af ​​matematik generelt.

Fra overdrivelse til vildfarelse

Efter denne lange indledende del går jeg videre til begyndelsen. geometriat beskrive, hvordan en overdreven tillid til geometri kan vildlede en videnskabsmand. Johannes Kepler er kendt i fysik og astronomi som opdageren af ​​himmellegemernes tre bevægelseslove. For det første bevæger hver planet i solsystemet sig rundt om solen i en elliptisk bane, hvor et af brændpunkterne er solen. For det andet tegner planetens førende stråle, trukket fra Solen, med jævne mellemrum lige store felter. For det tredje er forholdet mellem kvadratet af en planets omdrejningsperiode omkring Solen og terningen af ​​dens banes halv-hovedakse (dvs. den gennemsnitlige afstand fra Solen) konstant for alle planeter i solsystemet.

Måske var dette den tredje lov – det krævede en masse data og beregninger at etablere den, hvilket fik Kepler til at fortsætte med at søge efter mønstre i planeternes bevægelse og position. Historien om hans nye "opdagelse" er meget lærerig. Siden antikken har vi ikke kun beundret regulære polyedre, men også argumenter, der viser, at der kun er fem af dem i rummet. Et tredimensionelt polyeder kaldes regulært, hvis dets flader er identiske regulære polygoner, og hvert toppunkt har det samme antal kanter. Illustrativt skal hvert hjørne af et regulært polyeder "se ens ud". Det mest berømte polyeder er kuben. Alle har set en almindelig ankel.

Det regulære tetraeder er mindre kendt, og i skolen kaldes det for den regulære trekantede pyramide. Det ligner en pyramide. De resterende tre regulære polyedre er mindre kendte. Et oktaeder dannes, når vi forbinder midten af ​​kanterne på en terning. Dodecahedron og icosahedron ligner allerede kugler. Lavet af blødt læder, ville de være behagelige at grave. Begrundelsen for, at der ikke er nogen regulære polyedre ud over de fem platoniske faste stoffer, er meget god. For det første indser vi, at hvis kroppen er regulær, så skal det samme antal (lad q) af identiske regulære polygoner konvergere ved hvert toppunkt, lad disse være p-vinkler. Nu skal vi huske, hvad vinklen er i en regulær polygon. Hvis nogen ikke husker fra skolen, minder vi dig om, hvordan du finder det rigtige mønster. Vi tog en tur rundt om hjørnet. Ved hvert toppunkt drejer vi gennem den samme vinkel a. Når vi går rundt om polygonen og vender tilbage til udgangspunktet, har vi lavet p sådanne drejninger, og i alt har vi drejet 360 grader.

Men α er 180 graders komplement til den vinkel, vi ønsker at beregne, og er derfor

Vi har fundet formlen for vinklen (en matematiker ville sige: mål for en vinkel) for en regulær polygon. Lad os tjekke: i trekanten p = 3 er der ingen a

Sådan her. Når p = 4 (kvadrat), så

grader er også fint.

Hvad får vi for en femkant? Så hvad sker der, når der er q polygoner, hvor hver p har de samme vinkler

 grader faldende ved et toppunkt? Hvis det var på et plan, ville der dannes en vinkel

grader og kan ikke være mere end 360 grader – for så overlapper polygonerne.

Men da disse polygoner mødes i rummet, skal vinklen være mindre end den fulde vinkel.

Og her er uligheden, hvoraf det hele følger:

Divider det med 180, gang begge dele med p, orden (p-2) (q-2) < 4. Hvad følger? Lad os være opmærksomme på, at p og q skal være naturlige tal, og at p > 2 (hvorfor? Og hvad er p?) og også q > 2. Der er ikke mange måder at gøre produktet af to naturlige tal mindre end 4. Vi vil liste dem alle i tabel 1.

Jeg poster ikke tegninger, alle kan se disse figurer på internettet... På internettet... Jeg vil ikke afvise en lyrisk digression - måske er det interessant for unge læsere. I 1970 talte jeg ved et seminar. Emnet var svært. Jeg havde lidt tid til at forberede mig, jeg sad om aftenen. Hovedartiklen var skrivebeskyttet på plads. Stedet var hyggeligt, med en arbejdsatmosfære, ja, det lukkede klokken syv. Så tilbød bruden (nu min kone) selv at omskrive hele artiklen for mig: omkring et dusin trykte sider. Jeg kopierede den (nej, ikke med fjerpen, vi havde endda kuglepenne), foredraget var en succes. I dag forsøgte jeg at finde denne publikation, som allerede er gammel. Jeg husker kun navnet på forfatteren... Søgninger på internettet varede længe... hele femten minutter. Jeg tænker på det med et smil og lidt uberettiget beklagelse.

Vi vender tilbage til Keplera og geometri. Tilsyneladende forudsagde Platon eksistensen af ​​den femte regulære form, fordi han manglede noget samlende, der dækkede hele verden. Måske var det derfor, han instruerede en elev (Teajtet) til at lede efter hende. Som det var, så var det, på grundlag af hvilket dodecahedron blev opdaget. Vi kalder denne holdning af Platon panteisme. Alle videnskabsmænd, helt ned til Newton, bukkede under for det i større eller mindre grad. Siden det højst rationelle attende århundrede er dens indflydelse drastisk blevet mindre, selvom vi ikke skal skamme os over, at vi alle bukker under for den på den ene eller anden måde.

I Keplers koncept med at bygge solsystemet var alt korrekt, de eksperimentelle data faldt sammen med teorien, teorien var logisk sammenhængende, meget smuk ... men fuldstændig falsk. I hans tid kendte man kun til seks planeter: Merkur, Venus, Jorden, Mars, Jupiter og Saturn. Hvorfor er der kun seks planeter? spurgte Kepler. Og hvilken regelmæssighed bestemmer deres afstand fra Solen? Han gik ud fra, at alt hang sammen, det geometri og kosmogoni er tæt knyttet til hinanden. Fra de gamle grækeres skrifter vidste han, at der kun var fem regulære polyedre. Han så, at der var fem hulrum mellem de seks baner. Så måske svarer hvert af disse frirum til et regulært polyeder?

Efter flere års observation og teoretisk arbejde skabte han følgende teori, ved hjælp af hvilken han beregnede banernes dimensioner ret nøjagtigt, som han præsenterede i bogen "Mysterium Cosmographicum", udgivet i 1596: Forestil dig en kæmpe kugle, hvis diameter er diameteren af ​​Merkurs bane i dens årlige bevægelse omkring solen. Forestil dig så, at der på denne kugle er et regulært oktaeder, på det en kugle, på det et ikosaeder, på det igen en kugle, på det et dodekaeder, på det en anden kugle, på det et tetraeder, så igen en kugle, en terning og til sidst beskrives kuglen på denne terning.

Kepler konkluderede, at diametrene af disse på hinanden følgende kugler var diametrene for andre planeters baner: Merkur, Venus, Jorden, Mars, Jupiter og Saturn. Teorien så ud til at være meget præcis. Desværre faldt dette sammen med de eksperimentelle data. Og hvilket bedre bevis for rigtigheden af ​​en matematisk teori end dens overensstemmelse med eksperimentelle data eller observationsdata, især "taget fra himlen"? Jeg opsummerer disse beregninger i tabel 2. Hvad gjorde Kepler så? Jeg prøvede og prøvede, indtil det lykkedes, det vil sige når konfigurationen (rækkefølgen af ​​sfærer) og de resulterende beregninger faldt sammen med observationsdataene. Her er moderne Kepler-figurer og beregninger:

Man kan bukke under for fascinationen af ​​teori og tro, at målingerne på himlen er unøjagtige, og ikke de beregninger, der er lavet i værkstedets stilhed. Desværre ved vi i dag, at der er mindst ni planeter, og at alle sammenfald af resultater kun er en tilfældighed. En skam. Det var så smukt...