Farvede firkanter og solformørkelser

Artiklen beskriver mine klasser for mellemskoleelever - stipendiatindehavere af National Children's Fund. Fonden opsøger særligt begavede børn og unge (fra XNUMX. klasse i folkeskolen til gymnasiet) og tilbyder "stipendier" til udvalgte elever. De består dog slet ikke i at hæve kontanter, men i en omfattende pleje til talentudvikling som regel over mange år. I modsætning til mange andre projekter af denne type tager kendte videnskabsmænd, kulturpersonligheder, fremtrædende humanister og andre kloge personer samt nogle politikere Fondens afdelinger alvorligt.

Fondens aktiviteter omfatter alle discipliner, der er grundskolefag, bortset fra idræt, herunder kunst. Fonden blev oprettet i 1983 som en modgift til den daværende virkelighed. Alle kan søge fonden (normalt gennem en skole, helst inden skoleårets afslutning), men der er selvfølgelig en vis si, en bestemt kvalifikationsprocedure.

Som jeg allerede har nævnt, er artiklen baseret på mine mesterklasser, specifikt i Gdynia, i marts 2016, på den 24. ungdomsskole på III gymnasiet. Flåde. I mange år er disse seminarer blevet organiseret i fondens regi af Wojciech Thomalczyk, en lærer i ekstraordinær karisma og højt intellektuelt niveau. I 2008 kom han ind i top ti i Polen, som blev tildelt titlen som professor i pædagogik (bestemt ved lov for mange år siden). Der er en lille overdrivelse i udsagnet: "Uddannelse er verdens akse".

og månen er altid fascinerende – så kan man mærke, at vi bor på en lillebitte planet i et kæmpe rum, hvor alt er i bevægelse, målt i centimeter og sekunder. Det skræmmer mig endda lidt, også tidsperspektivet. Vi lærer, at den næste totale formørkelse, synlig fra området i dagens Warszawa, vil være i ... 2681. Gad vide, hvem vil se det? De tilsyneladende størrelser af Solen og Månen på vores himmel er næsten de samme - det er derfor, formørkelser er så korte og så spektakulære. I århundreder skulle disse korte minutter være nok til, at astronomer kunne se solkoronaen. Det er mærkeligt, at de sker to gange om året... men det betyder kun, at et eller andet sted på Jorden kan de ses i en kort periode. Som følge af tidevandsbevægelser er Månen på vej væk fra Jorden – om 260 millioner år vil den være så langt væk, at vi (vi???) kun vil se ringformørkelser.

Tilsyneladende den første til at forudsige formørkelse, var Thales fra Milet (28-585 århundreder f.Kr.). Vi ved nok ikke, om det rent faktisk skete, altså om han forudsagde det, for det faktum, at formørkelsen i Lilleasien fandt sted i maj 567, 566 f.Kr., er en kendsgerning, der bekræftes af moderne beregninger. Jeg citerer selvfølgelig data til dagens beretning om tid. Da jeg var barn, forestillede jeg mig, hvordan folk tæller år. Så dette er for eksempel XNUMX f.Kr., nytårsaften kommer, og folk glæder sig: kun XNUMX år f.Kr.! Hvor må de have været glade, da "vores æra" endelig kom! Hvilket årtusindeskifte, vi oplevede for et par år siden!

Matematikken til at beregne datoer og intervaller formørkelser, er ikke specielt kompliceret, men er proppet med alle mulige faktorer forbundet med regelmæssighed og, endnu værre, med kroppens ujævne bevægelse i baner. Jeg vil endda gerne vide denne matematik. Hvordan kunne Thales of Miletus foretage de nødvendige beregninger? Svaret er enkelt. Du skal have et himmelkort. Hvordan laver man sådan et kort? Dette er heller ikke svært, de gamle egyptere vidste, hvordan man gjorde det. Ved midnat kommer to præster ud på templets tag. Hver af dem sætter sig ned og tegner, hvad han ser (som sin kollega). Efter to tusinde år ved vi alt om planeternes bevægelser ...

Smuk geometri, eller sjov på "tæppet"

Grækerne kunne ikke lide tal, de tyede til geometri. Det er, hvad vi vil gøre. Vores formørkelse de vil være enkle, farverige, men lige så interessante og ægte. Vi accepterer konventionen om, at den blå figur bevæger sig på en sådan måde, at den formørker den røde. Lad os kalde den blå figur månen, og den røde figur solen. Vi stiller os selv følgende spørgsmål:

1. hvor længe varer en formørkelse;
2. når halvdelen af ​​målet er dækket;

   Ris. 1 Flerfarvet "tæppe" med sol og måne

3. hvad er den maksimale dækning;
4. er det muligt at analysere afhængigheden af ​​skjolddækningen til tiden? I denne artikel (jeg er begrænset af mængden af ​​tekst) vil jeg fokusere på det andet spørgsmål. Bag dette ligger en flot geometri, måske uden kedelige udregninger. Lad os se på fig. 1. Kan det antages, at det vil være forbundet med ... en solformørkelse?

Jeg må ærligt sige, at de opgaver, som jeg vil diskutere, vil være særligt udvalgte, tilpasset mellem- og gymnasieelevers viden og færdigheder. Men vi træner på sådanne opgaver som musikere spiller skalaer, og atleter laver generelle udviklingsøvelser. Desuden er det ikke bare et smukt tæppe (fig. 1)?

Ris. 2 "Blå" Måne og "Rød" Sol

Vores himmellegemer vil i hvert fald i begyndelsen være farvede firkanter. Månen er blå, solen er rød (bedst til at farve). med nuet formørkelse Månen jager solen hen over himlen, indhenter ... og lukker den. Det vil være det samme med os. Det enkleste tilfælde, når Månen bevæger sig i forhold til Solen, som vist i fig. 2. En formørkelse begynder, når kanten af ​​Månens skive rører kanten af ​​Solens skive (fig. 2) og slutter, når den går ud over den.

Ris. 3 Månen nærmer sig solen diagonalt

Vi antager, at "Månen" bevæger sig en celle pr. tidsenhed, for eksempel pr. minut. Formørkelsen varer så otte tidsenheder, f.eks. minutter. Halvt solformørkelser helt nedtonet. Halvdelen af ​​skiven lukkes to gange: efter 2 og 6 minutter. Den procentvise sløringsgraf er enkel. I løbet af de første to minutter lukker skjoldet jævnt med en hastighed på nul til 1, de næste to minutter eksponeres det med samme hastighed.

Her er et mere interessant eksempel (fig. 3). Månen nærmer sig solen diagonalt. I henhold til vores betalingsaftale pr. minut varer formørkelsen 8√2 minutter - midt i denne tid har vi en total formørkelse. Lad os beregne, hvilken del af solen, der er dækket efter tidspunkt t (fig. 3). Hvis der er gået t minutter siden begyndelsen af ​​formørkelsen, og som følge heraf er Månen som vist i fig. 5, så (opmærksom!) Derfor er det dækket (arealet af kvadratet APQR), svarende til halvdelen af ​​solskiven; derfor blev det dækket, da, dvs. efter 4 minutter (derefter 4 minutter før slutningen af ​​formørkelsen).

Ris. 4 Graf over "skygge"-funktionen

Totalitet varer et øjeblik (t = 4√2), og grafen for den "skraverede del"-funktion består af to buer af parabler (fig. 4).

Vores blå måne vil røre hjørnet med den røde sol, men den vil dække det, ikke diagonalt, men lidt diagonalt. Interessant geometri dukker op, når vi komplicerer bevægelsen lidt (fig. 6). Bevægelsesretningen er nu vektor [4,3], det vil sige "fire celler til højre, tre celler op." Solens position er sådan, at formørkelsen begynder (position A), når siderne af "himmellegemerne" konvergerer til en fjerdedel af deres længde. Når Månen bevæger sig til position B, vil den formørke en sjettedel af Solen, og i position C vil den formørke halvdelen. I position D har vi en total formørkelse, og så går alt tilbage, "som det var."

Ris. 5 En del af solen skjult i tid t

Formørkelsen slutter, når Månen er i position G. Den varede så længe som sektionslængde AG. Hvis vi som før tager som tidsenhed den tid, hvor Månen passerer "et kvadrat", så er længden af ​​AG ens. Hvis vi gik tilbage til den gamle konvention om, at vores himmellegemer er 4 gange 4, ville resultatet være anderledes (hvad?). Som det er nemt at vise, lukker målet efter t < 15. Grafen for funktionen "procent af skærmdækning" kan ses i fig. 6.

Ris. 6 Graf over funktionen "procent beskyttelse".

Formørkelse og spring ligning

Ris. 7 Obstruktion af solskiven under formørkelsen vist i fig. 6

Problemet med formørkelser ville være ufuldstændigt, hvis vi ikke overvejede tilfældet med cirkler. Dette er meget mere kompliceret, men lad os prøve at finde ud af, hvornår den ene cirkel formørker halvdelen af ​​den anden - og i det enkleste tilfælde, når en af ​​dem bevæger sig langs diameteren, der forbinder dem begge. Tegningen er bekendt for indehavere af et eller andet kreditkort.

Beregning af felternes position er kompliceret, da det for det første kræver kendskab til formlen for arealet af et cirkulært segment, for det andet kendskab til vinklens bue og for det tredje (og værst af alt) evnen at løse en bestemt springligning. Jeg vil ikke forklare, hvad en "transitiv ligning" er, lad os se på et eksempel (fig. 8).

Ris. 8 "Sfærisk" formørkelse

Et cirkulært snit er den "skål", der bliver tilbage efter at have skåret en cirkel med en lige linje. Arealet af et sådant segment er S = 1/2r²(φ-sinφ), hvor r er cirklens radius, og φ er den centrale vinkel, som segmentet hviler på (fig. 8). Dette opnås let ved at trække trekantens areal fra arealet af den cirkulære sektor.

Afsnit O₁O₂ (afstanden mellem cirklernes centre) er så lig med 2rcosφ/2, og højden (bredde, "taljelinje") h = 2rsinφ/2. Så hvis vi vil beregne, hvornår Månen vil dække halvdelen af ​​solskiven, skal vi løse ligningen: som efter forenkling bliver:

Ris. 9 Grafer over to funktioner

Løsningen af ​​sådanne ligninger går ud over simpel algebra - ligningen indeholder både vinkler og deres trigonometriske funktioner. Ligningen er uden for rækkevidde af traditionelle metoder. Det er derfor den hedder at hoppe. Lad os først se på graferne for begge funktioner, altså funktioner og funktioner. Vi kan læse en omtrentlig løsning ud fra denne figur. Vi kan dog få en iterativ tilnærmelse eller... brug løsningsmuligheden i Excel-regnearket. Det burde enhver gymnasieelev kunne, for det er det 20. århundrede. Jeg brugte et mere sofistikeret Mathematica-værktøj, og her er vores løsning med XNUMX decimaler med unødvendig præcision:

SetPrecision[FindRoot[x==Sin[x]+Pi/2,{x,2}],20] {x⇒2.3098814600100574523}.

Ris. 10 Animation af formørkelse i matematica

Vi gør dette til grader ved at gange med 180/π. Vi får 132 grader, 20 minutter, 45 og et kvart buesekund. Vi beregner, at afstanden til centrum af cirklen er O₁O₂ = 0,808 radius og "talje" 2,310.