SÅ TIL HVEM, altså: PRØV HVOR DU KAN - del 2

I den forrige episode beskæftigede vi os med Sudoku, et regnespil, hvor tal grundlæggende er arrangeret på forskellige diagrammer efter bestemte regler. Den mest almindelige mulighed er et 9x9 skakbræt, yderligere opdelt i ni 3x3 felter. Tallene fra 1 til 9 skal sættes på den, så de ikke gentages hverken i en lodret række (matematikere siger: i en kolonne) eller i en vandret række (matematikere siger: i en række) - og derudover så at de ikke gentager sig. gentag inden for en mindre firkant.

Na fig. 1 vi ser dette puslespil i en enklere udgave, som er et kvadrat på 6 × 6 opdelt i rektangler på 2 × 3. Vi indsætter tallene 1, 2, 3, 4, 5, 6 i det - så de ikke gentages lodret, heller ikke vandret eller i hver af de valgte sekskanter.

Lad os prøve vist i den øverste firkant. Kan du udfylde det med tal fra 1 til 6 i henhold til reglerne for dette spil? Det er muligt – men tvetydigt. Lad os se - tegn en firkant til venstre eller en firkant til højre.

Man kan sige, at dette ikke er grundlaget for et puslespil. Vi antager normalt, at et puslespil har én løsning. Opgaven med at finde forskellige baser til en "stor" Sudoku, 9x9, er en svær opgave, og der er ingen chance for at løse den fuldstændigt.

En anden vigtig sammenhæng er det modstridende system. Den nederste midterste firkant (den med tallet 2 i nederste højre hjørne) kan ikke udfyldes. Hvorfor?

Sjov og tilbagetog

Lad os fortsætte med at spille. Lad os bruge børns intuition. De mener, at underholdning er introduktionen til læring. Lad os gå ud i rummet. inkluderet fig. 2 alle ser gitteret tetraederlavet af bolde, såsom ping pong bolde? Lad os huske skolernes geometritimer. Farverne i venstre side af billedet forklarer, hvad der limes på, når blokken samles. Især vil de tre hjørne (røde) kugler blive limet til én. Derfor skal de indeholde samme nummer. Måske 9. Hvorfor? Og hvorfor ikke?

Åh jeg sagde det ikke opgaver. Det lyder sådan her: Er det muligt at passe tallene fra 0 til 9 ind i et synligt gitter, så hver kant indeholder alle tallene? Opgaven er ikke svær, men den kræver meget fantasi! Jeg vil ikke ødelægge det sjove for læserne og vil ikke give en løsning.

Dette er en meget smuk og undervurderet form regulært oktaeder, bygget af to pyramider (=pyramider) med en firkantet base. Som navnet antyder, har oktaederet otte ansigter.

Et oktaeder har seks hjørner. Dette modsiger terningsom har seks flader og otte hjørner. Kanterne på begge klumper er de samme - tolv hver. Det her dobbelte faste stoffer - det betyder, at ved at forbinde centrene af terningens flader får vi et oktaeder, og centrene af oktaederets flader vil give os en terning. Begge disse bump præsterer ("fordi de skal") Eulers formel: Summen af ​​antallet af hjørner og antallet af flader er 2 mere end antallet af kanter.

3. Et regulært oktaeder i parallel projektion og et oktaedergitter sammensat af kugler på en sådan måde, at hver kant har fire kugler.

1 job. Skriv først den sidste sætning i det foregående afsnit ved hjælp af en matematisk formel. På fig. 3 du ser et oktaedrisk netværk, også bestående af kugler. Der er fire kugler på hver kant. Hvert ansigt er en trekant med ti kugler. Opgaven stilles uafhængigt: er det muligt at sætte tal fra 0 til 9 i gitterets cirkler, så hver væg efter at have limet sammen en solid krop indeholder alle tallene (det følger uden gentagelse). Som før er den største udfordring i dette problem, hvordan nettet bliver til et fast stof. Jeg kan ikke forklare dette skriftligt, så jeg giver heller ikke en løsning her.

4. To icosaeder lavet af bordtennisbolde. Læg mærke til det anderledes farveskema.

allerede Platon (og han levede i det XNUMX.-XNUMX. århundrede f.Kr.) kendte alle de regulære polyedre: tetraeder, terning, oktaeder, dodekaeder i icosahedron. Det er utroligt, hvordan han kom dertil - ingen blyant, ingen papir, ingen kuglepen, ingen bøger, ingen smartphone, intet internet! Jeg vil ikke tale om dodecahedron her. Men icosahedral sudoku er interessant. Vi ser denne klump på illustration 4og hans netværk videre fig. 5.

5. Almindelig icosahedral mesh.

Som før er der ikke tale om et gitter i den forstand, vi husker (?!) fra skolen, men en måde at lime trekanter fra kugler (kugler på).

2 job. Hvor mange bolde skal der til for at samle sådan et icosahedron? Er følgende ræsonnement stadig korrekt: da hver flade er en trekant, hvis der skulle være 20 flader, så skal der så mange som 60 sfærer til?

6. Icosahedron mesh af kugler. Hver cirkel repræsenterer for eksempel en ping-pongbold, men at bygge cirkler på en cirkel, markeret med samme farve, smelter sammen til en helhed. Så vi har tolv kugler (= tolv hjørner: rød, blå, lilla, blå og otte gule).

Det er let at se, at tre tal i icosahedron ikke er nok. Mere præcist: det er umuligt at nummerere hjørnerne med tallene 1, 2, 3, så hver (trekant) flade har disse tre tal, og der er ingen gentagelser. Er det muligt med fire tal? Ja det er muligt! Lad os se på Ris. 6 og 7.

7. Sådan nummereres kuglerne, der udgør icosahedron, så hver flade indeholder andre tal end 1, 2, 3, 4. Hvilken af ​​kroppene i fig. 4 farvet på denne måde?

3 job. Tre af de fire tal kan vælges på fire måder: 123, 124, 134, 234. Find fem sådanne trekanter i ikosaederet i fig. 7 (og også fra illus. 4).

Opgave 4 (kræver meget god rumlig fantasi). Ikosaederet har tolv hjørner, hvilket betyder, at det kan limes sammen fra tolv kugler (fig. 7). Bemærk, at der er tre hjørner (= bolde) mærket 1, tre mærket 2, og så videre. Kugler af samme farve danner således en trekant. Hvad er det for en trekant? Måske ligesidet? Se igen illus. 4.

Næste opgave er for bedsteforældre og børnebørn. Forældre kan også endelig prøve sig frem, men de har brug for tålmodighed og tid.

5 job. Køb tolv (eller endnu bedre 24) bordtennisbolde, noget maling i fire farver, en pensel og den lim, du skal bruge - jeg anbefaler ikke hurtige som Super Glue eller Droplet, fordi de tørrer for hurtigt og er farlige for børn. Lim icosahedron. Klæd dit barnebarn på i en T-shirt, der bliver vasket (eller smidt ud) umiddelbart bagefter. Dæk bordet med folie (gerne avispapir). Farv forsigtigt icosahedron med fire farver 1, 2, 3, 4, som vist i fig. fig. 7. Du kan ændre rækkefølgen - farve først ballonerne og lim dem derefter. Samtidig skal bittesmå cirkler efterlades umalede, så malingen ikke klæber til malingen.

Nu er den sværeste opgave (eller rettere, hele deres sekvens).

Opgave 6 (mere præcist et generelt emne). Konstruer icosahedron som tetrahedron og octahedron på Ris. 2 og 3 Det betyder, at der skal være fire kugler på hver kant. I denne variant er opgaven både tidskrævende og endda dyr. Lad os starte med at finde ud af, hvor mange bolde du skal bruge. Hvert ansigt har ti kugler, så icosahedron har brug for to hundrede? Ingen! Vi skal huske, at mange bolde deles. Hvor mange kanter har et icosahedron? Det kan møjsommeligt beregnes, men hvad er Euler-formlen til?

w–k+s=2

hvor w, k, s er antallet af henholdsvis hjørner, kanter og flader. Vi husker, at w = 12, s = 20, hvilket betyder k = 30. Vi har 30 kanter af icosahedron. Man kan gøre det anderledes, for hvis der er 20 trekanter, så har de kun 60 kanter, men to af dem er fælles.

Lad os tælle, hvor mange kugler der skal til. Hver trekant har kun én indre kugle – hverken i toppen af ​​vores krop eller på kanten. Vi har således kun 20 sådanne bolde. Der er 12 toppe. Hver kant har to ikke-vertex-kugler (de er inde i kanten, men ikke inde i ansigtet). Da der er 30 kanter, bliver der 60 kugler, men to af dem er fælles, hvilket betyder at du kun skal bruge 30 kugler, så du skal bruge i alt 20 + 12 + 30 = 62 kugler. Bolde kan købes for mindst 50 groschen (normalt mere). Hvis du tilføjer omkostningerne til lim, kommer det ud til... meget. God limning kræver flere timers omhyggeligt arbejde. Tilsammen er de velegnede til et afslappende tidsfordriv – jeg anbefaler dem i stedet for for eksempel at se tv.

Retreat 1. I Andrzej Wajdas serie af film "By the Years, by the Days" spiller to mænd skak, "fordi de på en eller anden måde skal fordrive tiden før frokost." Dette foregår i galiciske Krakow. Faktisk: aviser er allerede blevet læst (på det tidspunkt havde de 4 sider), tv og telefon er endnu ikke opfundet, der er ingen fodboldkampe. Kedsomhed af vandpytter. I sådan en situation fandt folk på underholdning til sig selv. I dag har vi dem efter at have trykket på fjernbetjeningen...

Retreat 2. På et møde i 2019 i Association of Mathematics Teachers demonstrerede en spansk professor et computerprogram, der kunne male solide vægge i enhver farve. Det var lidt uhyggeligt, fordi de kun tegnede hænderne og nærmest skar kroppen af. Jeg tænkte ved mig selv: hvor meget sjov kan man få af denne slags "maleri"? Alt tager to minutter, og ved den fjerde husker vi intet. Imens beroliger og opdrager gammeldags "håndværk". Dem, der ikke tror, ​​lad dem prøve.

Lad os vende tilbage til det XNUMX. århundrede og til vores realiteter. Hvis vi ikke ønsker afslapning i form af arbejdskrævende limning af kugler, så vil vi i det mindste tegne et icosahedron-net, hvis kanter har fire kugler. Hvordan gør man det? Smuldrer korrekt fig. 6. Den opmærksomme læser kan allerede gætte problemet:

7 job. Er det muligt at nummerere kuglerne med tal fra 0 til 9, så alle disse tal er på hver side af sådan et icosahedron?

Hvad bliver vi betalt for?

I dag undrer vi os ofte over formålet med vores aktiviteter, og den "grå skatteyder" vil spørge, hvorfor han skal betale matematikere for at løse sådanne gåder?

Svaret er ret simpelt. Sådanne "gåder", interessante i sig selv, er "et fragment af noget mere alvorligt." Militærparader er trods alt kun den ydre, spektakulære del af en vanskelig tjeneste. Jeg vil blot give et eksempel, men jeg vil starte med det mærkelige, men internationalt anerkendte emne matematik. I 1852 spurgte en engelsk studerende sin professor, om ethvert kort kunne farvelægges i fire farver, så nabolandene altid ville fremstå i forskellige farver? Lad mig tilføje, at vi ikke overvejer at "nabo" dem, der kun mødes på ét tidspunkt, såsom staterne Wyoming og Utah i USA. Professoren vidste det ikke... og problemet ventede på en løsning i mere end hundrede år.

8. Icosahedron fra RECO blokke. Flashreflektorer viser, hvad icosahedron har til fælles med en trekant og en femkant. Fem trekanter mødes ved hvert toppunkt.

Dette skete fra en uventet retning. I 1976 skrev en gruppe amerikanske matematikere et program til at løse dette problem (og de besluttede: ja, fire farver vil altid være nok). Dette var det første bevis på en matematisk kendsgerning opnået ved hjælp af en "matematisk maskine" - som en computer blev kaldt for et halvt århundrede siden (og endnu tidligere: en "elektronisk hjerne").

Her er et specielt vist "kort over Europa" (fig. 9). De lande, der deler en fælles grænse, er forbundet. At farvelægge et kort er det samme som at farve cirklerne på den graf (kaldet en graf), så ingen forbundne cirkler har samme farve. Et kig på Liechtenstein, Belgien, Frankrig og Tyskland viser, at tre farver ikke er nok. Hvis du vil, læser, farve den i fire farver.

9. Hvem grænser op til hvem i Europa?

Nå, ja, men er det skatteydernes penge værd? Så lad os se på den samme graf lidt anderledes. Lad os glemme, at der er stater og grænser. Lad cirklerne symbolisere informationspakker, der skal sendes fra et punkt til et andet (for eksempel fra P til EST), og segmenterne repræsenterer mulige forbindelser, som hver har sit eget gennemløb. Sende så hurtigt som muligt?

Lad os først se på en meget forenklet, men også meget interessant fra et matematisk synspunkt, situation. Vi skal sende noget fra punkt S (=som start) til punkt M (=afslut) ved hjælp af et netværk af forbindelser med samme båndbredde, f.eks. 1. Det ser vi i fig. 10.

10. Netværk af forbindelser fra Stacyjka Zdroj til Megapolis.

Lad os forestille os, at omkring 89 bits information skal sendes fra S til M. Forfatteren til disse ord kan lide togproblemer, så han forestiller sig, at han er leder hos Stacie Zdroj, hvorfra han skal sende 144 vogne. til Megapolis station. Hvorfor 144? For, som vi vil se, vil dette blive brugt til at beregne gennemstrømningen af ​​hele netværket. Kapaciteten er 1 på hver plads, dvs. En bil kan køre pr. tidsenhed (én informationsbit, muligvis også en Gigabyte).

Lad os sørge for, at alle bilerne mødes på samme tid i M. Alle kommer dertil i 89 tidsenheder. Hvis jeg har en meget vigtig S til M informationspakke at sende, deler jeg den op i grupper på 144 enheder og skubber den som ovenfor. Matematikken garanterer, at dette vil være den hurtigste. Hvordan vidste jeg, at du havde brug for 89? Jeg gættede det faktisk, men hvis jeg ikke havde gættet det, havde jeg været nødt til at finde ud af det Kirchhoff-ligningen (kan nogen huske det? - disse er ligninger, der beskriver strømmens flow). Netværkets båndbredde er 184/89, hvilket er omtrent lig med 1,62.

Om glæde

Jeg kan i øvrigt godt lide nummer 144. Jeg elskede at tage bussen med dette nummer til Slotspladsen i Warszawa – da der ikke var noget restaureret kongeslot i nærheden. Måske ved unge læsere, hvad et dusin er. Dette er 12 eksemplarer, men kun ældre læsere vil huske, at der er en halv snes, dvs. 122=144, dette er de såkaldte mange. Og det vil alle, der kan matematik lidt mere end fra skolepensum, straks forstå fig. 10 vi har Fibonacci-tal, og den netværksgennemstrømning er tæt på det "gyldne tal"

I Fibonacci-sekvensen er 144 det eneste tal, der er et perfekt kvadrat. Et hundrede og fireogfyrre er også et "glædeligt tal". Sådan er en indisk amatørmatematiker Dattatreya Ramachandra Kaprekar i 1955 navngav han tal, der er delelige med summen af ​​deres konstituerende cifre:

Hvis bare han vidste dette Adam Mickiewicz, han ville bestemt have skrevet nej i Dzyady: “Fra en fremmed mor; hans blod er hans gamle helte / Og hans navn er fireogfyrre, kun mere elegant: Og hans navn er hundrede og fireogfyrre.

Tag det sjovt seriøst

Jeg håber, at jeg har overbevist læserne om, at Sudoku-puslespil er en underholdende side af ting, som bestemt fortjener at blive taget alvorligt. Jeg kan ikke udvikle dette emne yderligere. Åh, beregning af fuld netværksbåndbredde fra diagrammet, der er angivet på fig. 9 at skrive et ligningssystem ville tage to eller flere timer - måske endda snesevis af sekunder (!) af computerarbejde.