Artikel om ingenting

Som barn var jeg fascineret af historien, sikkert kendt af mange læsere, om "suppe på et søm". Min bedstemor (XNUMXst århundrede af fødsel) fortalte mig dette i versionen "Kosaken kom og bad om vand, fordi han har et søm, og han vil koge suppe på det." Den nysgerrige værtinde gav ham en gryde vand... og vi ved, hvad der skete derefter: "suppen skulle være salt, daitye, bedstemor, salt", så vaskede han kødet "for at forbedre smagen" og så videre. Til sidst smed han det "kogte" søm.

Så denne artikel skulle handle om rummets tomhed – og det handler om landingen af ​​et europæisk apparat på kometen 67P / Churyumov-Gerasimenko den 12. november 2014. Men mens jeg skrev, bukkede jeg under for en langvarig vane, Jeg er stadig matematiker. Hvordan er det med Synes godt omс Nul matematik?

Hvordan eksisterer intet?

Det kan ikke siges, at intet eksisterer. Det eksisterer i hvert fald som et filosofisk, matematisk, religiøst og fuldstændigt dagligdags begreb. Nul er et almindeligt tal, nul grader på et termometer er også en temperatur, og en nulbalance i en bank er en ubehagelig, men almindelig begivenhed. Bemærk, at der ikke er et nul-år i kronologien, og det skyldes, at nul først blev introduceret i matematik i den sene middelalder, senere end den kronologi, som munken Dionysius foreslår (XNUMX. århundrede).

Mærkeligt nok kunne vi virkelig undvære dette nul og derfor uden negative tal. I en af ​​lærebøgerne om logik fandt jeg en øvelse: Tegn eller sig, hvordan du forestiller dig fraværet af fisk. Forbløffende, er det ikke? Alle kan tegne en fisk, men ikke én?

Nu kort grundlæggende matematikkursus. At give eksistensprivilegiet til det tomme sæt markeret med en overstreget cirkel ∅ er en nødvendig procedure analogt med at tilføje nul til sættet af tal. Det tomme sæt er det eneste sæt, der ikke indeholder nogen elementer. Sådanne samlinger:

Men der er ikke to forskellige tomme sæt. Det tomme sæt er inkluderet i hvert andet sæt:

Reglerne for matematisk logik siger faktisk, at mængde A er indeholdt i mængde B, hvis og kun hvis sætningen:

det medfører

I tilfælde af den tomme mængde ∅ er påstanden altid falsk, og ifølge logikkens love er implikationen generelt sand. Alt stammer fra en løgn ("her vil jeg dyrke en kaktus, hvis du flytter til næste klasse ..."). Så da det tomme sæt er indeholdt i hver af de andre, så hvis de var to forskellige, ville hver af dem være indeholdt i den anden. Men hvis to sæt er indeholdt i hinanden, er de ens. Det er derfor: der er kun ét tomt sæt!

Postulatet om eksistensen af ​​et tomt sæt er ikke i modstrid med nogen matematiske love, så hvorfor ikke omsætte det i praksis? Det filosofiske princip kaldesOccams barbermaskine»En ordre om at udelukke unødvendige begreber, men helt rigtigt konceptet med et tomt sæt er meget nyttigt i matematik. Bemærk at det tomme sæt har en dimension på -1 (minus en) - nuldimensionelle elementer er punkter og deres sparsomme systemer, endimensionelle elementer er linjer, og vi talte om meget komplekse matematiske elementer med fraktal dimension i kapitlet om fraktaler.

Det er interessant, at hele matematikkens opbygning: tal, tal, funktioner, operatorer, integraler, differentialer, ligninger ... kan udledes af ét begreb - et tomt sæt! Det er nok at antage at der er et tomt sæt, de nyoprettede elementer kan kombineres til sæt for at kunne bygge al matematikken. Sådan konstruerede den tyske logiker Gottlob Frege de naturlige tal. Nul er en klasse af sæt, hvis elementer er i gensidig overensstemmelse med elementerne i det tomme sæt. Den ene er en klasse af mængder, hvis elementer er i gensidig overensstemmelse med elementerne i et sæt, hvis eneste element er det tomme sæt. To er en klasse af sæt, hvis elementer er en-til-en med elementerne i sættet bestående af det tomme sæt og det sæt, hvis eneste element er det tomme sæt... og så videre. Ved første øjekast ser det ud til at være noget meget kompliceret, men det er det faktisk ikke.

Blåt bredte sig over mig

lugtede af lyng og lugtede af mynte...

Wojciech Mlynarski, Harvest Girl

Det er svært at forestille sig

Intet er svært at forestille sig. I Stanisław Lems historie "Hvordan verden blev reddet" byggede designeren Trurl en maskine, der kunne klare alt, der starter med et bogstav. Da Klapaucius beordrede det til at blive bygget Nic, begyndte maskinen at fjerne forskellige genstande fra verden - med det ultimative mål at fjerne alt. Da den skræmte Klapaucius standsede bilen, var kabysser, taks, ophængning, hacks, rim, piskere, puf, kværne, spyd, philidron og frost forsvundet fra verden for altid. Og faktisk forsvandt de for altid ...

Józef Tischner skrev meget godt om intetheden i sin History of Mountain Philosophy. Under min sidste ferie besluttede jeg at opleve denne intethed, nemlig at jeg tog til tørvemoserne mellem Nowy Targ og Jabłonka i Podhale. Dette område kaldes endda Pustachia. Du går, du går, men vejen bliver ikke mindre - selvfølgelig på vores beskedne, polske skala. En dag tog jeg en bus i den canadiske provins Saskatchewan. Udenfor var en kornmark. Jeg tog en lur i en halv time. Da jeg vågnede, kørte vi gennem den samme kornmark... Men vent, er det her tomt? I en vis forstand er fraværet af forandring bare tomhed.

Vi er vant til den konstante tilstedeværelse af forskellige genstande omkring os, og fra Noget du kan ikke løbe væk selv med lukkede øjne. "Jeg tænker, derfor er jeg," sagde Descartes. Hvis jeg allerede har tænkt noget, så eksisterer jeg, hvilket betyder, at der i det mindste er noget i verden (nemlig jeg). Findes det, jeg troede? Dette kan diskuteres, men i moderne kvantemekanik er Heisenberg-princippet kendt: hver observation forstyrrer det observerede objekts tilstand. Indtil vi ser det Nic det eksisterer ikke, og når vi begynder at lede, holder objektet op med at være det Synes godt om og det bliver Noget. Det er ved at blive absurd antropisk princip: Det nytter ikke at spørge, hvordan verden ville være, hvis vi ikke eksisterede. Verden er, hvad den ser ud for os. Måske vil andre væsener se Jorden som kantet?

En positron (sådan en positiv elektron) er et hul i rummet, "der er ingen elektron." I udslettelsesprocessen springer elektronen ind i dette hul og "der sker intet" - der er intet hul, ingen elektron. Jeg vil springe en masse vittigheder over om huller i schweizerost ("jo mere jeg har, jo mindre er der ..."). Den berømte komponist John Cage havde allerede brugt sine ideer i en sådan grad, at han komponerede (?) et musikstykke (?), hvor orkestret sidder ubevægeligt i 4 minutter 33 sekunder og selvfølgelig ikke spiller noget. "Fire minutter og treogtredive sekunder er to hundrede og treoghalvfjerds, 273, og minus 273 grader er absolut nul, hvorved al bevægelse stopper," forklarede komponisten (?).

Filtrer til nul, intet, nick, nick, intet, nul!

Jerzy i Andrzej Wajdas film Gennem årene,

dagene går"

Hvad med alle?

Mange mennesker (fra simple bønder til fremtrædende filosoffer) undrede sig over eksistensfænomenet. I matematik er situationen enkel: Der er noget, der er konsekvent.

Hun forsvandt ud i de marginale marker

I kornblomster, ukrudt og løvemund ...

Nå, sådan noget sker

Især i høsten og under høsten

især…

Wojciech Mlynarski, Harvest Girl

Alt er i den anden yderlighed af Intet. I matematik ved vi det Alt eksisterer ikke. Bare en alt for unøjagtig forestilling om, at hans eksistens ville være fri for kontroverser. Dette kan forstås ved eksemplet med det gamle paradoks: "Hvis Gud er almægtig, så skab en sten at samle op?" Det matematiske bevis på, at der ikke kan være mængder af alle mængder, er baseret på sætningen sanger-Bershtein, som siger, at "et uendeligt tal" (matematisk: kardinalnummer) sættet af alle medlemmer af et givet sæt er større end antallet af elementer i dette sæt.

Hvis et sæt har elementer, så har det 2ⁿ delmængder; for eksempel, når = 3 og sættet består af {1, 2, 3}, så eksisterer følgende undersæt:

• tre to-element sæt: hver af dem mangler et af tallene 1, 2, 3,
• et tomt sæt,
• tre et-element sæt,
• hele sættet {1,2,3}

– kun otte, 2³Og læsere, der for nylig er dimitteret fra skolen, vil jeg gerne huske den tilsvarende formel:

Hvert af de newtonske symboler i denne formel bestemmer antallet af k-elementsæt i -elementmængden.

I matematik optræder binomiale koefficienter mange andre steder, såsom i interessante formler for reduceret multiplikation:

og fra deres nøjagtige form er deres indbyrdes afhængighed meget mere interessant.

Det er svært at forstå, hvad - hvad angår logik og matematik - er, og hvad Alting ikke er. Argumenter for ikke-eksistens Akkurat det samme som Peter Plys, der høfligt spurgte sin gæst, Tiger, kan Tigre overhovedet lide honning, agern og tidsler? "Tigre kan lide alt," svarede den, hvorfra Kubus konkluderede, at hvis de kan lide alt, så kan de også lide at sove på gulvet, derfor kan han, Vinnie, vende tilbage til sengen.

Endnu et argument Russells paradoks. Der er en barber i byen, som barberer alle de mænd, der ikke barberer sig. Barberer han sig selv? Begge svar modsiger den fremsatte betingelse om, at de dræber dem, og kun dem, der ikke selv gør det.

Leder efter en samling af alle samlinger

Afslutningsvis vil jeg give et smart, men mest matematisk bevis på, at der ikke er noget sæt af alle mængder (ikke at forveksle med det).

Først vil vi vise, at for ethvert ikke-tomt sæt X, er det umuligt at finde en gensidigt unik funktion, der mapper dette sæt til mængden af ​​dets delmængder P(X). Så lad os antage, at denne funktion eksisterer. Lad os betegne det med den traditionelle f. Hvad er f fra x? Dette er en samling. Tilhører xf x? Dette er ukendt. Enten skal man eller også skal man ikke. Men for nogle x skal det stadig være sådan, at det ikke hører til f af x. Tja, så overvej mængden af ​​alle x, for hvilke x ikke hører til f(x). Betegn det (denne mængde) med A. Det svarer til et element a i mængden X. Hører a til A? Lad os antage, at du burde. Men A er et sæt, der kun indeholder de elementer af x, der ikke hører til f(x) ... Nå, måske hører det ikke til A? Men mængden A indeholder alle elementerne i denne egenskab, og dermed også A. Slut på beviset.

Derfor, hvis der var et sæt af alle sæt, ville det i sig selv være en delmængde af sig selv, hvilket er umuligt ifølge den tidligere begrundelse.

Puha, jeg tror ikke mange læsere har set dette bevis. Jeg bragte det snarere op for at vise, hvad matematikere skulle gøre i slutningen af ​​det nittende århundrede, da de begyndte at studere grundlaget for deres egen videnskab. Det viste sig, at problemerne ligger, hvor ingen forventede dem. Desuden er disse ræsonnementer om baserne ligegyldige for hele matematikken: uanset hvad der sker i kældrene – hele matematikkens bygning står på en solid sten.

I mellemtiden, på toppen...

Vi bemærker endnu en moral fra historierne om Stanislav Lem. På en af ​​sine rejser nåede Iyon Tichi en planet, hvis indbyggere efter en lang udvikling endelig nåede det højeste udviklingstrin. De er alle stærke, de kan alt, de har alt lige ved hånden... og de gør ingenting. De lægger sig på sandet og hælder det mellem fingrene. "Hvis alt er muligt, er det ikke det værd," forklarer de til den chokerede Ijon. Lad dette ikke ske med vores europæiske civilisation...