Rejs ind i matematikkens uvirkelige verden

Jeg skrev denne artikel i et af miljøerne, efter en forelæsning og praksis på et kollegium for datalogi. Jeg forsvarer mig mod kritik af eleverne på denne skole, deres viden, holdning til naturvidenskab og vigtigst af alt: undervisningsfærdigheder. Dette... ingen lærer dem.

Hvorfor er jeg så defensiv? Af en simpel grund - jeg er i en alder, hvor verden omkring os sandsynligvis endnu ikke er forstået. Måske lærer jeg dem at spænde og afspænde heste, og ikke at køre bil? Måske jeg lærer dem at skrive med en fjerpen? Selvom jeg har en bedre mening om en person, betragter jeg mig selv som "følgende", men...

Indtil for nylig, i gymnasiet, talte de om komplekse tal. Og det var i onsdags, at jeg kom hjem, sagde op – næsten ingen af ​​eleverne har endnu lært, hvad det er, og hvordan man bruger disse tal. Nogle ser på al matematik som en gås ved en malet dør. Men jeg blev også oprigtigt overrasket, da de fortalte mig, hvordan jeg skulle lære. Kort sagt er hver time af en forelæsning to timers hjemmearbejde: at læse en lærebog, lære at løse problemer om et givet emne osv. Efter at have forberedt os på denne måde, kommer vi til øvelserne, hvor vi forbedrer alt ... Behageligt troede eleverne tilsyneladende, at det at sidde til forelæsningen - oftest kigger ud af vinduet - allerede garanterer, at viden kommer ind i hovedet.

Hold op! Nok af det her. Jeg vil beskrive mit svar på et spørgsmål, som jeg modtog under en time med stipendiater fra National Children's Fund, en institution, der støtter talentfulde børn fra hele landet. Spørgsmålet (eller rettere forslaget) var:

— Kan du fortælle os noget om uvirkelige tal?

"Selvfølgelig," svarede jeg. 

Tallenes virkelighed

"En ven er en anden mig, venskab er forholdet mellem tallene 220 og 284," sagde Pythagoras. Pointen her er, at summen af ​​divisorerne af tallet 220 er 284, og summen af ​​divisorerne af tallet 284 er 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284. I øvrigt bemærker vi, at den bibelske Jakob gav Esau 220 får og væddere som et tegn på venskab (32. Mosebog 14:XNUMX) ).

Et andet interessant sammenfald mellem tallene 220 og 284 er dette: de sytten højeste primtal er 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, og 59.

Deres sum er 2x220, og summen af ​​kvadraterne er 59x284.

Først. Der er ikke noget begreb om "reelt tal". Det er ligesom efter at have læst en artikel om elefanter, du spørger: "Nu skal vi spørge efter ikke-elefanter." Der er hele og ikke-hele, rationelle og irrationelle, men der er ingen uvirkelige. Specifikt: tal, der ikke er reelle, kaldes ikke ugyldige. Der er mange typer "tal" i matematik, og de adskiller sig fra hinanden, gerne - for at tage en zoologisk sammenligning - en elefant og en regnorm.

For det andet vil vi udføre operationer, som du måske allerede ved er forbudte: at udtrække kvadratrødderne af negative tal. Nå, matematik vil overvinde sådanne barrierer. Giver det dog mening? I matematik, som i enhver anden videnskab, afhænger hvorvidt en teori for evigt kommer ind i videnlageret ... af dens anvendelse. Hvis det er ubrugeligt, så ender det i skraldespanden, så i noget videnshistoriens skrald. Uden de tal, som jeg taler om i slutningen af ​​denne artikel, er det umuligt at udvikle matematik. Men lad os starte med nogle små ting. Hvad er reelle tal, du ved. De fylder tallinjen tæt og uden mellemrum. Du ved også, hvad naturlige tal er: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - alle passer ikke ind hukommelse selv den største. De har også et smukt navn: naturligt. De har så mange interessante egenskaber. Hvordan kan du lide dette:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

"Det er naturligt at interessere sig for de naturlige tal," sagde Karl Lindenholm, og Leopold Kronecker (1823-1891) udtrykte det kortfattet: "Gud skabte de naturlige tal - alt andet er menneskets værk!" Brøker (kaldet rationelle tal af matematikere) har også fantastiske egenskaber:

og i ligestilling:

du kan begynde fra venstre side gnide plusserne og erstatte dem med multiplikationstegn - og ligheden forbliver sand:

Og så videre.

Som du ved, siger de for brøkerne a/b, hvor a og b er heltal, og b ≠ 0 rationelt tal. Men kun på polsk kalder de sig det. De taler engelsk, fransk, tysk og russisk. rationelt tal. På engelsk: rationelle tal. Irrationelle tal det er irrationelt, irrationelt. Vi taler også polsk om irrationelle teorier, ideer og gerninger - det er galskab, imaginært, uforklarligt. De siger, at kvinder er bange for mus – er det ikke så irrationelt?

I oldtiden havde tallene en sjæl. Hver betød noget, hver symboliserede noget, hver afspejlede en partikel af universets harmoni, det vil sige på græsk, Kosmos. Selve ordet "kosmos" betyder præcis "orden, orden". De vigtigste var seks (det perfekte tal) og ti, summen af ​​de på hinanden følgende tal 1+2+3+4, der består af andre tal, hvis symbolik har overlevet den dag i dag. Så Pythagoras lærte, at tal er begyndelsen og kilden til alting, og kun opdagelsen irrationelle tal vendte den pythagoræiske bevægelse mod geometri. Det kender vi ræsonnementet fra skolen

√2 er et irrationelt tal

For antag, at der er: og at denne brøk ikke kan reduceres. Især både p og q er ulige. Lad os firkante: 2q²=p². Tallet p kan ikke være ulige, da p² ville også være, og venstre side af ligheden er et multiplum af 2. Derfor er p lige, dvs. p = 2r, derfor p²=4r². Vi reducerer ligningen 2q²=4r² med 2. Vi får q²=2r² og vi ser, at q også skal være lige, hvilket vi antog ikke er tilfældet. Den resulterende modsigelse fuldender beviset - denne formel kan ofte findes i enhver matematisk bog. Dette omstændighedsbevis er sofisternes yndlingstrick.

Denne uhyre kunne ikke pythagoræerne forstå. Alt skal kunne beskrives med tal, og diagonalen på en firkant, som enhver kan tegne med en pind hen over sandet, har ingen, altså målbar, længde. "Vores tro var forgæves," synes pythagoræerne at sige. Hvordan det? Det er lidt... irrationelt. Unionen forsøgte at redde sig selv ved sekteriske metoder. Enhver, der tør afsløre deres eksistens irrationelle tal, skulle straffes med døden, og den første dom blev åbenbart fuldbyrdet af mesteren selv.

Men "tanken gik uskadt." Guldalderen er kommet. Grækerne besejrede perserne (Marathon 490, blok 479). Demokratiet blev styrket, nye centre for filosofisk tankegang og nye skoler opstod. Pythagoræerne kæmpede stadig med irrationelle tal. Nogle prædikede: vi vil ikke forstå dette mysterium; vi kan kun betragte og undre os over Uncharted. Sidstnævnte var mere pragmatiske og respekterede ikke Mysteriet. På det tidspunkt dukkede to mentale konstruktioner op, der gjorde det muligt at forstå irrationelle tal. At vi forstår dem ret godt i dag, tilhører Eudoxus (XNUMX. århundrede f.Kr.), og det var først i slutningen af ​​det XNUMX. århundrede, at den tyske matematiker Richard Dedekind gav teorien om Eudoxus den rette udvikling i overensstemmelse med strenge krav. matematisk logik.

Masse af figurer eller tortur

Kunne du leve uden tal? Selvom hvad livet ville være... Vi skulle gå i butikken for at købe sko med en pind, som vi tidligere målte fodens længde. "Jeg vil gerne have æbler, ah, her er det!" – vi ville vise sælgere på markedet. "Hvor langt er der fra Modlin til Nowy Dwur Mazowiecki"? "Rimelig tæt!"

Tal bruges til at måle. Med deres hjælp udtrykker vi også mange andre begreber. For eksempel viser skalaen på kortet, hvor meget landets areal er faldet. En to-til-en skala, eller blot 2, udtrykker det faktum, at noget er blevet fordoblet i størrelse. Lad os sige matematisk: hver homogenitet svarer til et tal - dets skala.

opgave. Vi lavede en xerografisk kopi og forstørrede billedet flere gange. Derefter blev det forstørrede fragment igen forstørret b gange. Hvad er den generelle forstørrelsesskala? Svar: a × b ganget med b. Disse skalaer skal ganges. "Minus en"-tallet, -1, svarer til én præcision, der er centreret, dvs. roteret 180 grader. Hvilket tal svarer til en 90 graders drejning? Der er ikke et sådant nummer. Det er, det er … eller rettere, det bliver snart. Er du klar til moralsk tortur? Tag mod til dig og tag kvadratroden af ​​minus én. jeg lytter til? Hvad kan du ikke? Jeg sagde jo, at du skulle være modig. Træk det ud! Hej, træk, træk... Jeg hjælper... Her: -1 Nu hvor vi har det, lad os prøve at bruge det... Nu kan vi selvfølgelig udtrække rødderne til alle negative tal, for eksempel.:

√-4 = 2√-1, √-16 = 4√-1

"Uanset den mentale kvaler det medfører." Dette er, hvad Girolamo Cardano skrev i 1539 i et forsøg på at overvinde de mentale vanskeligheder forbundet med - som det snart blev kaldt - imaginære mængder. Han overvejede disse...

...opgave. Del 10 op i to dele, hvoraf produktet er 40. Jeg kan huske, at han fra forrige afsnit skrev noget som dette: Helt sikkert umuligt. Lad os dog gøre dette: dividere 10 i to lige store dele, hver lig med 5. Multiplicer dem - det blev til 25. Fra de resulterende 25 skal du nu trække 40 fra, hvis du vil, og du får -15. Se nu: √-15 tilføjet og trukket fra 5 giver dig produktet af 40. Disse er tallene 5-√-15 og 5 + √-15. Verifikationen af ​​resultatet blev udført af Cardano som følger:

“Uanset hvilken hjertesorg det medfører, skal du gange 5 + √-15 med 5-√-15. Vi får 25 - (-15), hvilket er lig med 25 + 15. Så produktet er 40 .... Det er virkelig svært«.

Nå, hvor meget er: (1 + √-1) (1-√-1)? Lad os formere. Husk at √-1 × √-1 = -1. Store. Nu en mere vanskelig opgave: fra a + b√-1 til ab√-1. Hvad skete der? Helt sikkert sådan: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

Hvad er interessant ved dette? For eksempel det, at vi kan faktorisere udtryk, som vi "ikke kendte før." Den forkortede multiplikationsformel for²-b² Kan du huske formlen for²+b² det var det ikke, for det kunne det ikke være. I domænet af reelle tal, polynomiet²+b² det er uundgåeligt. Lad os betegne "vores" kvadratrod af "minus en" med bogstavet i.²= -1. Det er et "uvirkeligt" primtal. Og det er det, der beskriver en 90 graders drejning af et fly. Hvorfor? Trods alt,²= -1, og at kombinere en 90-graders rotation og en anden 180-graders rotation giver en 45-graders rotation. Hvilken type rotation beskrives? Tydeligvis en XNUMX graders drejning. Hvad betyder -i'et? Det er lidt mere kompliceret:

(-JEG)² = -i × (-i) = + i² = -1

Så -i beskriver også en 90 graders rotation, lige i den modsatte retning af i's rotation. Hvilken er venstre og hvilken er højre? Du skal lave en aftale. Vi antager, at tallet i angiver en rotation i en retning, som matematikere betragter som positiv: mod uret. Tallet -i beskriver rotation i den retning, som viserne bevæger sig.

Men eksisterer tal som i og -i? Er! Vi har lige bragt dem til live. jeg lytter til? At de kun eksisterer i vores hoved? Hvad kan man forvente? Alle andre tal eksisterer også kun i vores sind. Vi skal se, om vores nyfødte tal overlever. Mere præcist, om designet er logisk, og om de vil være brugbare til noget. Tag mit ord for det, at alt er i orden, og at disse nye numre er virkelig nyttige. Tal som 3+i, 5-7i, mere generelt: a+bi kaldes komplekse tal. Jeg viste dig, hvordan du kan få dem ved at dreje flyet. De kan indtastes på forskellige måder: som punkter i et plan, som nogle polynomier, som en slags numeriske arrays ... og hver gang er de ens: ligningen x² +1=0 der er intet element... hokus pokus er der allerede!!!! Lad os glæde os og glæde os!!!

Slut på tur

Dette afslutter vores første rundvisning i landet med falske numre. Af de andre ujordiske tal vil jeg også nævne dem, der har et uendeligt antal cifre foran, og ikke bagved (de kaldes 10-adic, for os er p-adic vigtigere, hvor p er et primtal), for eksempel X = … … … 96109004106619977392256259918212890625

Lad os tælle X tak². Fordi? Hvad hvis vi beregner kvadratet af et tal efterfulgt af et uendeligt antal cifre? Nå, lad os gøre det samme. Vi ved, at x² = H.

Lad os finde et andet sådant tal med et uendeligt antal cifre foran, der opfylder ligningen. Tip: kvadratet af et tal, der ender på seks, ender også på seks. Kvadratet på et tal, der ender på 76, ender også på 76. Kvadratet på et tal, der ender på 376, slutter også på 376. Kvadratet på et tal, der ender på 9376, slutter også på 9376. Kvadratet på et tal, der ender på XNUMX på … Der er også tal, der er så små, at de er positive, forbliver mindre end noget andet positivt tal. De er så små, at det nogle gange er nok at firkante dem for at få nul. Der er tal, der ikke opfylder betingelsen a × b = b × a. Der er også uendelige tal. Hvor mange naturlige tal er der? Uendeligt mange? Ja, men hvor meget? Hvordan kan dette udtrykkes som et tal? Svar: det mindste af uendelige tal; den er markeret med et smukt bogstav: A og suppleret med et nulindeks A₀ , alph-nul.

Der er også tal, som vi ikke ved eksisterer... eller som du kan tro eller vantro, som du vil. Og apropos lignende: Jeg håber, du stadig kan lide Unreal Numbers, Fantasy Species Numbers.