Hvorfor dividerer vi ikke med nul?

Læsere kan undre sig over, hvorfor jeg afsætter en hel artikel til et så banalt spørgsmål? Årsagen er det svimlende antal elever (!), der tilfældigt udfører operationen under navnet. Og ikke kun studerende. Nogle gange fanger jeg og lærere. Hvad vil eleverne af sådanne lærere være i stand til i matematik? Den umiddelbare grund til at skrive denne tekst var en samtale med en lærer, for hvem division med nul ikke var et problem ...

Med nul, ja, bortset fra besværet med slet ingenting, for vi behøver ikke rigtig bruge det i hverdagen. Vi går ikke på indkøb efter nul æg. "Der er én person i rummet" lyder på en eller anden måde naturligt, og "nul mennesker" lyder kunstigt. Sprogforskere siger, at nul er uden for sprogsystemet.

Vi kan også undvære nullet på bankkonti: bare brug - som på et termometer - rød og blå til positive og negative værdier (bemærk, at for temperatur er det naturligt at bruge rødt til positive tal, og for bankkonti det er omvendt, fordi debiteringen skulle udløse en advarsel, så rød kan varmt anbefales).

Ved at inkludere nul som et naturligt tal berører vi problemet med differentiering Kardinalnumre od husstand. Inden for 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …..

tallets potens er det samme som tallet på det sted, hvor det står. Ellers er den allerede i rækkefølgen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …..

Antallet af singleton-sæt kommer på andenpladsen, antallet af sæt med to elementer kommer på tredjepladsen, og så videre. Vi skal forklare, hvorfor vi for eksempel ikke nummererer atleternes pladser i konkurrencer fra bunden. Så ville vinderen af ​​førstepladsen modtage en sølvmedalje (guld gik til vinderen af ​​nulpladsen), og så videre. En noget lignende procedure blev brugt i fodbold - jeg ved ikke, om læserne ved, at "league one" betyder " efter de bedste." ", og nul-ligaen kaldes til at blive "major league".

Nogle gange hører vi argumentet om, at vi skal starte fra bunden, fordi det er praktisk for it-folk. For at fortsætte disse overvejelser bør definitionen af ​​en kilometer ændres - den skal være 1024 m, fordi dette er antallet af bytes i en kilobyte (jeg vil referere til en vittighed kendt af dataloger: "Hvad er forskellen mellem en førsteårsstuderende og en studerende i datalogi og en femteårs studerende på dette fakultet? at en kilobyte er 1000 kilobyte, den sidste - at en kilometer er 1024 meter")!

Et andet synspunkt, som allerede bør tages alvorligt, er dette: vi måler altid fra bunden! Det er nok at se på enhver skala på linealen, på husholdningsvægte, selv på uret. Da vi måler fra nul, og tælling kan forstås som en måling med en dimensionsløs enhed, så skal vi tælle fra nul.

Det er en simpel sag, men...

Lad os forlade den generelle begrundelse og vende tilbage til division med nul. Sagen er enkel, og den ville være enkel, hvis det ikke var for ... hvad så? Lad os tænke og prøve. Hvor meget kan det være - en divideret med nul? Lad os se: 1/0 = x. Gang begge sider med nævneren i venstre side.

Vi får 1=0. Er der noget galt! Hvad er der sket? Ah gæt! Antagelsen om, at der er en kvotient af enhed og nul, fører til en modsigelse. Og hvis et ikke kan divideres med nul, så kan et andet tal. Hvis du, læser, trækker på skuldrene og undrer dig over, hvorfor forfatteren (det vil sige mig) skriver om sådanne floskler, så ... er jeg meget glad!

Formlen 0/0 = 0 kunne forsvares på et stædigt grundlag, men den modsiger reglen om, at resultatet af at dividere et tal i sig selv er lig med én. Absolut, men ret forskellige er sådanne symboler som 0/0, °/° og lignende i calculus. De betyder ikke noget tal, men er symbolske betegnelser for bestemte sekvenser af bestemte typer.

I en elektroteknikbog fandt jeg en interessant sammenligning: at dividere med nul er lige så farligt som højspændingselektricitet. Dette er normalt: Ohms lov siger, at forholdet mellem spænding og modstand er lig med strøm: V = U / R. Hvis modstanden var nul, ville der flyde en teoretisk uendelig strøm gennem lederen og brænde alle mulige ledere.

Jeg skrev engang et digt om farerne ved at dividere med nul for hver dag i ugen. Jeg kan huske, at den mest dramatiske dag var torsdag, men det er synd for alt mit arbejde på dette område.

Når man dividerer noget med nul

Meget tidlig mandag

Uge hvad der lige skete

Du har allerede fejlet dybt.

Når tirsdag eftermiddag

Du sætter nul i nævneren

Så siger jeg dig, du tager fejl

Dårlig matematiker!

Når gennem nul, gennem perversion,

Vil gerne skilles på onsdag

Du vil komme i mange problemer

Du har hø og vand i hovedet!

En vis Bartek var med os.

Han var i modstrid med reglerne.

På torsdag er det deleligt med nul.

Han er ikke længere mellem os!

Hvis et mærkeligt begær tager fat i dig

Divider med nul på fredag

Jeg skal være ærlig, jeg skal være ærlig:

Dårlig start på denne weekend.

Når det er nul, et sted på lørdag

Skillevæggen bliver din (ikke fed)

Gå på knæ under kirkehegnet.

Dette er din opstandelse.

Vil du have nul under stregen,

Hold ferie på søndag

Medbring kridt, sort tavle.

Skriv: det er ikke deleligt med nul!

Nul er forbundet med tomhed og intethed. Faktisk kom han til matematik som en størrelse, der, når den lægges til nogen, ikke ændrer den: x + 0 = x. Men nu vises nul i flere andre værdier, især som skalastart. Hvis der uden for vinduet hverken er positiv temperatur eller frost, så ... er dette nul, hvilket ikke betyder, at der slet ikke er nogen temperatur. Et nulklasse-monument er ikke et, der har været revet ned i lang tid og simpelthen ikke eksisterer. Tværtimod er det noget som Wawel, Eiffeltårnet og Frihedsgudinden.

Nå, vigtigheden af ​​nul i et positionssystem kan næppe overvurderes. Ved du, læser, hvor mange nuller Bill Gates har på sin bankkonto? Jeg ved det ikke, men jeg vil gerne have halvdelen. Tilsyneladende bemærkede Napoleon Bonaparte, at mennesker er som nuller: de får mening gennem position. I Andrzej Wajdas film As the Years, As the Days Go by eksploderer den passionerede kunstner Jerzy: "Filisteren er nul, nihil, ingenting, ingenting, nihil, nul." Men nul kan være godt: "nul afvigelse fra normen" betyder, at alt går godt, og fortsæt!

Lad os vende tilbage til matematikken. Nul kan lægges til, trækkes fra og ganges ustraffet. "Jeg tog nul kilo på," siger Manya til Anya. "Og det er interessant, for jeg tabte mig lige meget," svarer Anya. Så lad os spise seks nul portioner is seks gange, det vil ikke skade os.

Vi kan ikke dividere med nul, men vi kan dividere med nul. En tallerken med nul dumplings kan nemt udleveres til dem, der venter på mad. Hvor meget vil hver få?

Nul er ikke positivt eller negativt. Dette og nummeret ikke-positiveи ikke-negativ. Det opfylder ulighederne x≥0 og x≤0. Modsigelsen "noget positivt" er ikke "noget negativt", men "noget negativt eller lig med nul". Matematikere vil i modsætning til sprogets regler altid sige, at noget er "lig med nul" og ikke "nul". For at retfærdiggøre denne praksis har vi: hvis vi læser formlen x = 0 "x er nul", så læser x = 1 "x er lig med en", som kunne sluges, men hvad med "x = 1534267"? Du kan heller ikke tildele en numerisk værdi til tegnet 0⁰heller ikke hæve nul til en negativ potens. På den anden side kan du rode nul efter behag... og resultatet vil altid være nul. 

Eksponentiel funktion y = a^x, den positive base af a, bliver aldrig nul. Det følger heraf, at der ikke er nogen nullogaritme. Faktisk er logaritmen af ​​a til grundtal b den eksponent, som grundtallet skal hæves til for at opnå logaritmen af ​​a. For a = 0 er der ingen sådan indikator, og nul kan ikke være basis for logaritmen. Imidlertid er nullet i "nævneren" af Newtons symbol noget andet. Vi antager, at disse konventioner ikke fører til en modsigelse.

falske beviser

Division med nul er et almindeligt emne for falske beviser, og det sker selv for erfarne matematikere. Lad mig give dig to af mine yndlingseksempler. Den første er algebraisk. Jeg vil "bevise" at alle tal er lige store. Antag, at der er to tal, der ikke er ens. Derfor er den ene af dem større end den anden, lad a > b. Lad os antage, at c er deres forskel

c \uXNUMXd a - b. Så vi har a - b = c, hvorfra a = b + c.

Vi gange begge dele af sidstnævnte med a - b:

a² – ab = ab + ac – b2 – bc.

Jeg oversætter ak til venstre side, selvfølgelig husker jeg at skifte tegnet:

a² - ab - ac = ab - b2 - bc.

Jeg udelukker almindelige faktorer:

A (a-b-c) \uXNUMXd b (a-b-c),

Jeg deler, og jeg har, hvad jeg ønskede:

a = b.

Og faktisk endnu mærkeligere, fordi jeg antog, at a > b, og jeg fik, at a = b. Hvis "snyd" i eksemplet ovenfor er let at genkende, så er det i det geometriske bevis nedenfor ikke så let. Jeg vil bevise, at ... trapezet ikke eksisterer. Den figur, der almindeligvis kaldes en trapez, eksisterer ikke.

Men antag først, at der er sådan noget som en trapez (ABCD i figuren nedenfor). Den har to parallelle sider ("baser"). Lad os strække disse baser, som vist på billedet, så vi får et parallelogram. Dens diagonaler opdeler den anden diagonal af trapezoidet i segmenter, hvis længder er angivet x, y, z, som i figur 1. Fra ligheden mellem de tilsvarende trekanter får vi proportionerne:

hvor vi definerer:

Oraz

hvor vi definerer:

Træk siderne af lighed markeret med asterisker fra:

 Forkortes begge sider med x − z, får vi – a/b = 1, hvilket betyder, at a + b = 0. Men tallene a, b er længderne af trapezets grundflader. Hvis deres sum er nul, så er de også nul. Det betyder, at en figur som en trapez ikke kan eksistere! Og da rektangler, romber og firkanter også er trapezoider, så er der heller ingen romber, rektangler og firkanter, kære læser ...

Sådan

At dele information er den mest interessante og udfordrende af de fire grundlæggende aktiviteter. Her støder vi for første gang på et fænomen, der er så almindeligt i voksenalderen: "gæt svaret, og tjek så, om du gættede rigtigt." Dette er meget passende udtrykt af Daniel K. Dennett ("How to Make Mistakes?", i How It Is – A Scientific Guide to the Universe, CiS, Warszawa, 1997):

Denne metode til at "gætte" forstyrrer ikke vores voksne liv – måske fordi vi lærer det tidligt og at gætte ikke er svært. Ideologisk forekommer det samme fænomen fx i matematisk (fuldstændig) induktion. Samme sted "gætter" vi formlen og tjekker derefter, om vores gæt er korrekt. Eleverne spørger altid: ”Hvordan kendte vi mønsteret? Hvordan kan det tages ud?" Når elever stiller mig dette spørgsmål, gør jeg deres spørgsmål til en joke: "Jeg ved det, fordi jeg er professionel, fordi jeg bliver betalt for at vide det." Elever på skolen kan besvares i samme stil, kun mere seriøst.

øvelse. Bemærk, at vi starter addition og skriftlig multiplikation med den laveste enhed og division med den højeste enhed.

En kombination af to ideer

Matematiklærere har altid påpeget, at det, vi kalder voksenadskillelse, er foreningen af ​​to konceptuelt forskellige ideer: boliger i adskillelse.

Den første (boliger) forekommer i opgaver, hvor arketypen er:

Del-opdel Det er opgaver som:

? (Vi beholder den oprindelige stil af dette problem, taget fra håndbogen af ​​Julian Zgozalewicz, udgivet i Krakow i 1892 - złoty er den rhenske złoty, den valuta, der var i omløb i det østrig-ungarske imperium indtil begyndelsen af ​​det XNUMX. århundrede) .

Overvej nu to problemer med den ældste matematik lærebog i polsk, far Tomasz Clos (1538). Er det en division eller en coupé? Løs det som skolebørn i det XNUMX. århundrede burde:

(Polsk til polsk oversættelse: Der er en liter og fire gryder i en tønde. En gryde er fire liter. Nogen købte 20 tønder vin for 50 zł til handel. Told og skat (afgifter?) vil være 8 zł. Hvor meget skal man sælge en liter for at tjene 8 zł?)

Sport, fysik, kongruens

Nogle gange skal man i sport dividere noget med nul (målforhold). Nå, dommerne håndterer det på en eller anden måde. Men i abstrakt algebra er de på dagsordenen. ikke-nul mængderhvis kvadrat er nul. Det kan endda forklares enkelt.

Overvej en funktion F, der forbinder et punkt (y, 0) med et punkt i planet (x, y). Hvad er F², altså en dobbelt udførelse af F? Nulfunktion - hvert punkt har et billede (0,0).

Endelig er ikke-nul mængder, hvis kvadrat er 0, næsten dagligt brød for fysikere, og tal på formen a + bε, hvor ε ≠ 0, men ε² = 0, kalder matematikere dobbelte tal. De forekommer i matematisk analyse og i differentialgeometri.

Der er jo noget i regnestykket, der har division med nul i mindst navnet. Det kommer fra overensstemmelsen. Lad Z betegne mængden af ​​heltal. At dividere mængden Z med p betyder, at vi sidestiller hvert tal (heltal) med nogle andre, nemlig dem, hvormed deres forskel er delelig. Så når vi har fem typer tal svarende til tallene 0, 1, 2, 3, 4 - de mulige rester, når de divideres med 5. Formlen er skrevet sådan:

mod, når forskellen er et multiplum.

For = 2 har vi kun to tal: 0 og 1. At dele heltal i to sådanne klasser svarer til at dividere dem i lige og ulige. Lad os erstatte det nu. Forskellen er altid delelig med 1 (ethvert heltal er deleligt med 1). Er det muligt at tage =0? Lad os prøve: hvornår er forskellen mellem to tal et multiplum af nul? Kun når disse to tal er lige store. Så det giver mening at dividere et sæt heltal med nul, men det er ikke interessant: der sker ikke noget. Det skal dog understreges, at der ikke er tale om taldeling i den forstand, man kender fra folkeskolen.

Sådanne handlinger er simpelthen forbudte, såvel som lang og bred matematik.

Ris. 2. Identifikation af numre ved hjælp af sammenligning

(træ 5 og træ 2)