Ny maskine matematik? Elegante mønstre og hjælpeløshed

Ifølge nogle eksperter kan maskiner opfinde eller, hvis man vil, opdage helt ny matematik, som vi mennesker aldrig har set eller tænkt på. Andre hævder, at maskiner ikke opfinder noget på egen hånd, de kan kun repræsentere de formler, vi kender på en anden måde, og de kan slet ikke klare nogle matematiske problemer.

For nylig præsenterede en gruppe videnskabsmænd fra Technion Institute i Israel og Google automatiseret system til generering af teoremersom de kaldte Ramanujan-maskinen efter matematikeren Srinivasi Ramanujansom udviklede tusindvis af banebrydende formler inden for talteori med ringe eller ingen formel uddannelse. Systemet udviklet af forskerne forvandlede en række originale og vigtige formler til universelle konstanter, der optræder i matematik. En artikel om dette emne er blevet offentliggjort i tidsskriftet Nature.

En af de maskingenererede formler kan bruges til at beregne værdien af ​​en universel konstant kaldet catalansk nummer, mere effektiv end at bruge tidligere kendte formler, der er opdaget af mennesker. Det hævder forskere dog Ramanujans bil det er ikke meningen at tage matematik fra folk, men snarere at tilbyde hjælp til matematikere. Det betyder dog ikke, at deres system er blottet for ambitioner. Mens de skriver, "forsøger maskinen at efterligne de store matematikeres matematiske intuition og give hints til yderligere matematiske quests."

Systemet gør antagelser om værdierne af universelle konstanter (såsom) skrevet som elegante formler kaldet fortsatte brøker eller fortsatte brøker (1). Dette er navnet på metoden til at udtrykke et reelt tal som en brøk i en speciel form eller grænsen for sådanne brøker. En fortsat brøk kan være endelig eller have uendeligt mange kvotienter._i/b_i; fraktion A_k/B_k opnået ved at kassere partialbrøkerne i den fortsatte fraktion, startende fra (k + 1), kaldes den kth redukt og kan beregnes ved hjælp af formlerne:_-1=1,A₀=b₀, B._-1=0,V₀=1, A_k=b_kA_k-1+a_kA_k-2, B._k=b_kB_k-1+a_kB_k-2; hvis sekvensen af ​​redukter konvergerer til en endelig grænse, så kaldes den fortsatte fraktion konvergent, ellers er den divergent; En fortsat brøk kaldes en aritmetisk hvis_i=1, s₀ afsluttet, b_i (i>0) – naturlig; aritmetisk fortsat fraktion konvergerer; hvert reelt tal udvides til en fortsat aritmetisk brøk, som kun er endelig for rationelle tal.

1. Et eksempel på at skrive Pi som en fortsat brøk

Ramanujan-maskinens algoritme vælger alle universelle konstanter for venstre side og eventuelle fortsatte brøker for højre side og beregner derefter hver side separat med en vis præcision. Hvis begge sider ser ud til at overlappe, beregnes mængderne med mere præcision for at sikre, at matchningen ikke er en match eller unøjagtighed. Det er vigtigt, at der allerede er formler, der giver dig mulighed for at beregne værdien af ​​universelle konstanter, for eksempel med enhver præcision, så den eneste hindring for at kontrollere sidematchning er beregningstiden.

Før de implementerede sådanne algoritmer, skulle matematikere bruge en eksisterende. matematisk viden i teoremergøre en sådan antagelse. Takket være de automatiske gæt, der genereres af algoritmer, kan matematikere bruge dem til at genskabe skjulte teoremer eller mere "elegante" resultater.

Den mest bemærkelsesværdige opdagelse af forskere er ikke så meget ny viden som en ny antagelse af overraskende betydning. Dette tillader beregning af den catalanske konstant, en universel konstant, hvis værdi er nødvendig i mange matematiske problemer. At udtrykke det som en fortsat brøkdel i en nyopdaget antagelse giver mulighed for de hurtigste beregninger til dato, hvilket besejrer tidligere formler, der tog længere tid at behandle i en computer. Dette ser ud til at markere et nyt fremskridt for datalogi siden da computere først slog skakspillere.

Hvad AI ikke kan klare

Maskinalgoritmer Som du kan se, gør de nogle ting på en innovativ og effektiv måde. Stillet over for andre problemer er de hjælpeløse. En gruppe forskere ved University of Waterloo i Canada opdagede en klasse af problemer med at bruge maskinelæring. Opdagelsen hænger sammen med et paradoks beskrevet i midten af ​​forrige århundrede af den østrigske matematiker Kurt Gödel.

Matematiker Shai Ben-David og hans team præsenterede en maskinlæringsmodel kaldet maksimal forudsigelse (EMX) i en publikation i tidsskriftet Nature. Det ser ud til, at en simpel opgave viste sig at være umulig for kunstig intelligens. Problem stillet af holdet Shai Ben David kommer ned til at forudsige den mest profitable reklamekampagne, der fokuserer på de læsere, der besøger webstedet oftest. Antallet af muligheder er så stort, at det neurale netværk ikke er i stand til at finde en funktion, der korrekt vil forudsige webstedsbrugeres adfærd, og kun have et lille udsnit af data til sin rådighed.

Det viste sig, at nogle af de problemer, som neurale netværk udgør, svarer til kontinuumshypotesen, som Georg Cantor har stillet. Den tyske matematiker beviste, at kardinaliteten af ​​mængden af ​​naturlige tal er mindre end kardinaliteten af ​​mængden af ​​reelle tal. Så stillede han et spørgsmål, som han ikke kunne svare på. Han spekulerede nemlig på, om der findes et uendeligt sæt, hvis kardinalitet er mindre end kardinaliteten sæt af reelle talmen mere magt sæt af naturlige tal.

Østrigsk matematiker fra det XNUMX. århundrede. Kurt Gödel bevist, at kontinuumhypotesen er uafgørlig i det nuværende matematiske system. Nu viser det sig, at matematikere, der designer neurale netværk, har stået over for et lignende problem.

Så selvom den er usynlig for os, som vi ser, er den hjælpeløs over for grundlæggende begrænsninger. Forskere spekulerer på, om de har problemer af denne klasse, såsom uendelige mængder, for eksempel.