Coronavirus og matematikundervisning – delvist bestilte samlinger

Den virus, der har ramt os, driver en hurtig uddannelsesreform. især på de højere uddannelsesniveauer. Om dette emne kan du skrive et længere essay, der vil helt sikkert være en strøm af doktorafhandlinger om metoden til fjernundervisning. Fra et vist synspunkt er dette en tilbagevenden til rødderne og til de glemte vaner med selvstudium. Sådan var det for eksempel i Kremenets realskole (i Kremenets, nu i Ukraine, som eksisterede i 1805-31, vegeterede indtil 1914 og oplevede sin storhedstid i 1922-1939). Eleverne studerede der på egen hånd – først efter de havde lært, kom lærerne ind med rettelser, afsluttende afklaringer, hjælp på svære steder mv. e. Da jeg blev student, sagde de også, at vi selv skulle tilegne os viden, at kun bestille og sende undervisning til universitetet. Men dengang var det bare en teori...

I foråret 2020 er jeg ikke den eneste, der opdagede, at lektioner (inklusive forelæsninger, øvelser osv.) kan udføres meget effektivt eksternt (Google Meet, Microsoft Teams osv.), på bekostning af en masse arbejde fra lærerens side og blot et ønske om "få en uddannelse" på den anden side; men også med en vis trøst: Jeg sidder derhjemme, i min lænestol, og i traditionelle forelæsninger lavede eleverne også ofte noget andet. Effekten af ​​sådan træning kan være endnu bedre end med det traditionelle, der går tilbage til middelalderen, klasse-lektionssystem. Hvad bliver der tilbage af ham, når virussen går til helvede? Jeg tror... ret meget. Men vi får se.

I dag vil jeg tale om delvist bestilte sæt. Det er simpelt. Da en binær relation i et ikke-tomt sæt kaldes X for en partiel ordensrelation, når der eksisterer

(Tadeusz Kotarbinski, 1886-1981, filosof,

præsident for det polske videnskabsakademi i 1957-1962).

1. Refleksiv, dvs. for hver ∈ er der ",
2. Forbipasserende, dvs. hvis ", og ", så",
3. Semi-asymmetrisk, dvs. ("∧")→ =

En streng er et sæt med følgende egenskab: for alle to elementer er dette sæt enten "eller y". Antikæde er...

Stop, stop! Kan noget af dette forstås? Selvfølgelig er det det. Men har nogen af ​​læserne (ved andet) allerede forstået, hvad der står her?

Jeg tror ikke! Og dette er kanonen for at undervise i matematik. Også i skolen. Først en anstændig, streng definition, og så vil de, der ikke faldt i søvn af kedsomhed, helt sikkert forstå noget. Denne metode blev pålagt af de "store" lærere i matematik. Han skal være forsigtig og streng. Det er rigtigt, at sådan skal det være i sidste ende. Matematik skal være en eksakt videnskab (se også: ).

Jeg må indrømme, at jeg også underviste i så mange år på det universitet, hvor jeg arbejder efter at have trukket mig tilbage fra universitetet i Warszawa. Kun i den var den berygtede spand koldt vand (lad den blive ved: der var brug for en spand!). Pludselig blev høj abstraktion let og behagelig. Sæt opmærksomhed: let betyder ikke let. Den lette bokser har det også svært.

Jeg smiler til mine minder. Jeg blev undervist i det grundlæggende i matematik af den daværende dekan på fakultetet, en førsteklasses matematiker, der netop var ankommet fra et længere ophold i USA, hvilket på det tidspunkt var noget ekstraordinært i sig selv. Jeg synes, hun var lidt snobbet, da hun glemte polsk lidt. Hun misbrugte det gamle polske "hvad", "derfor", "azalea" og opfandt udtrykket: "semi-asymmetrisk forhold". Jeg elsker at bruge det, det er virkelig præcist. Jeg kan lide. Men det kræver jeg ikke af eleverne. Dette kaldes almindeligvis "lav antisymmetri". Ti smukke.

For længe siden, fordi der i halvfjerdserne (i forrige århundrede) skete en stor, glædelig reform af undervisningen i matematik. Dette faldt sammen med begyndelsen af ​​den korte periode af Eduard Giereks regeringstid - en vis åbning af vores land til verden. "Børn kan også blive undervist i højere matematik," udbrød de store lærere. Et resumé af universitetsforelæsningen "Fundamentals of Mathematics" blev udarbejdet for børn. Dette var en tendens ikke kun i Polen, men i hele Europa. At løse ligningen var ikke nok, hver detalje skulle forklares. For ikke at være ubegrundet kan hver af læserne løse ligningssystemet:

men eleverne skulle begrunde hvert trin, henvise til relevante udsagn osv. Dette var et klassisk overskud af form i forhold til indhold. Det er nemt for mig at kritisere nu. Jeg var også engang tilhænger af denne tilgang. Det er spændende... for unge mennesker, der brænder for matematik. Dette var selvfølgelig (og, for opmærksomhedens skyld, jeg).

Men nok digression, lad os komme i gang: en forelæsning, der "teoretisk" var beregnet til andenårsstuderende på Polyteknisk Læreanstalt og ville have været tør som kokosflager, hvis ikke for hende. Jeg overdriver lidt...

Godmorgen til dig. Dagens emne er delvis rengøring. Nej, dette er ikke en antydning af skødesløs rengøring. Den bedste sammenligning ville være at overveje, hvad der er bedst: tomatsuppe eller flødekage. Svaret er klart: afhængig af hvad. Til dessert - småkager og til en nærende ret: suppe.

I matematik beskæftiger vi os med tal. De er ordnet: de er større og mindre, men af ​​to forskellige tal er det ene altid mindre, hvilket betyder, at det andet er større. De er arrangeret i rækkefølge, ligesom bogstaver i alfabetet. I klassejournalen kan rækkefølgen være som følger: Adamchik, Baginskaya, Khoinitsky, Derkovsky, Elget, Filipov, Gzhechnik, Kholnitsky (de er venner og klassekammerater fra min klasse!). Vi er heller ikke i tvivl om, at Matusyak "Matushelyansky" Matushevsky "Matisyak. Symbolet for "dobbelt ulighed" har betydningen "før".

I min rejseklub forsøger vi at gøre listerne alfabetiske, men ved navn f.eks. Alina Wrońska "Warvara Kaczarska", Cesar Bouschitz osv. I officielle optegnelser ville rækkefølgen være omvendt. Matematikere omtaler alfabetisk orden som leksikografisk (et leksikon er mere eller mindre som en ordbog). På den anden side er en sådan rækkefølge, hvor vi i et navn bestående af to dele (Michal Shurek, Alina Wronska, Stanislav Smazhinsky) først ser på den anden del, en antileksikografisk orden for matematikere. Lange titler, men meget enkelt indhold.

1. Lineær rækkefølge: stationer og stoppesteder på Habovka-Zakopane jernbanen fra Podhale, bygget i 1899 (jeg overlader afkodningen af ​​forkortelserne til læseren).

Alle sådanne ordrer kaldes linjeordrer. Vi bestiller på skift: første, anden, tredje. Alt er i orden, fra det første punkt til det sidste. Det giver ikke altid mening. Vi arrangerer trods alt bøger på biblioteket ikke sådan, men i sektioner. Kun inde i afdelingen arrangerer vi lineært (normalt alfabetisk).

2. Lineær rækkefølge: når vi starter bilmotoren, udfører vi handlinger i en konsekvent rækkefølge.

Ved større projekter, især i teamarbejde, har vi ikke længere en lineær rækkefølge. Lad os se på fig. 3. Vi vil bygge et lille hotel. Vi har allerede penge (celle 0). Vi udarbejder tilladelser, indsamler materialer, starter byggeriet og laver samtidig en annoncekampagne, leder efter medarbejdere og så videre og så videre. Når vi når "10", kan de første gæster tjekke ind (et eksempel fra historierne om Mr. Dombrowski og deres lille hotel i forstæderne til Krakow). Vi har ikke-lineær rækkefølge – nogle ting kan ske sideløbende.

I økonomi lærer du om begrebet den kritiske vej. Dette er det sæt af handlinger, der skal udføres sekventielt (og det kaldes en kæde i matematik, mere om det om et øjeblik), og som tager mest tid. Reduktion af byggetiden er en omlægning af den kritiske vej. Men mere om dette i andre forelæsninger (jeg minder om, at jeg læser en "universitetsforelæsning"). Vi fokuserer på matematik.

Diagrammer som figur 3 kaldes Hasse-diagrammer (Helmut Hasse, tysk matematiker, 1898-1979). Enhver kompleks indsats skal planlægges på denne måde. Vi ser handlingssekvenser: 1-5-8-10, 2-6-8, 3-6, 4-7-9-10. Matematikere kalder dem strenge. Hele ideen består af fire kæder. I modsætning hertil er aktivitetsgruppe 1-2-3-4, 5-6-7 og 8-9 antikæder. Her er hvad de hedder. Faktum er, at i en bestemt gruppe afhænger ingen af ​​handlingerne af den foregående.

4. Dette er også et Hasse-diagram.

Lad os gå til figur 4. Hvad er imponerende? Men det kunne være et metrokort i en eller anden by! Underjordiske jernbaner er altid grupperet i linjer - de går ikke fra den ene til den anden. Linjer er separate linier. I byen Fig. 4 er ovn linje (husk det ovn der står "boldem" - på polsk hedder det halvtykt).

I dette diagram (fig. 4) er der en kort gul ABF, en seks-station ACFPS, en grøn ADGL, en blå DGMRT og den længste røde. Matematikeren vil sige: dette Hasse-diagram har ovn kæder. Det er på den røde linje syv station: AEINRUW. Hvad med antikæder? Der er de syv. Læseren har allerede bemærket, at jeg har dobbeltstreget ordet syv.

Antikæde dette er sådan et sæt stationer, at det er umuligt at komme fra en af ​​dem til en anden uden en overførsel. Når vi "forstår" lidt, vil vi se følgende antikæder: A, BCLTV, DE, FGHJ, KMN, PU, ​​​​SR. Tjek for eksempel, at det ikke er muligt at rejse fra nogen af ​​BCLTV-stationerne til en anden BCTLV uden en overførsel, mere præcist: uden at skulle vende tilbage til stationen vist nedenfor. Hvor mange antikæder er der? syv. Hvilken størrelse er den største? Bage (igen med fed skrift).

I kan forestille jer, elever, at sammenfaldet af disse tal ikke er tilfældigt. Det. Dette blev opdaget og bevist (dvs. altid sådan) i 1950 af Robert Palmer Dilworth (1914-1993, amerikansk matematiker). Antallet af rækker, der skal til for at dække hele sættet, er lig med størrelsen af ​​den største antikæde, og omvendt: antallet af antikæder er lig med længden af ​​den længste antikæde. Dette er altid tilfældet i et delvist bestilt sæt, dvs. en der kan visualiseres. Hassego diagram. Dette er ikke en helt stram og korrekt definition. Det er, hvad matematikere kalder en "arbejdsdefinition". Dette er noget anderledes end "arbejdsdefinitionen". Dette er et tip til, hvordan man forstår delvist ordnede sæt. Dette er en vigtig del af enhver træning: se, hvordan det fungerer.

Den engelske forkortelse er - dette ord lyder smukt på slaviske sprog, lidt som en tidsel. Bemærk at tidselen også er forgrenet.

Meget flot, men hvem har brug for det? I, kære studerende, har brug for det for at bestå eksamen, og det er nok en god nok grund til at læse den. Jeg lytter, hvilke spørgsmål? Jeg lytter herre fra under vinduet. Åh, spørgsmålet er, vil dette nogensinde være nyttigt for Herren i dit liv? Måske ikke, men for nogen, der er klogere end dig, helt sikkert ... Måske til kritisk vejanalyse i et komplekst økonomisk projekt?

Jeg skriver denne tekst i midten af ​​juni, valget af rektor foregår på universitetet i Warszawa. Jeg har læst flere kommentarer fra internetbrugere. Der er overraskende meget had (eller "had") mod "uddannede mennesker". Nogen skrev ligeud, at folk med en universitetsuddannelse ved mindre end dem med en universitetsuddannelse. Jeg vil selvfølgelig ikke gå ind i diskussionen. Jeg er bare ked af, at den etablerede opfattelse i den polske folkerepublik vender tilbage om, at alt kan klares med en hammer og en mejsel. Jeg vender tilbage til matematikken.

Dillworths teorem har flere interessante anvendelser. En af dem er kendt som ægteskabsteoremet.fig. 6). 

Der er en gruppe kvinder (snarere piger) og en lidt større gruppe af mænd. Hver pige tænker sådan her: "Jeg kunne gifte mig med denne ene, for en anden, men aldrig i mit liv for en tredje." Og så videre, alle har deres egne præferencer. Vi tegner et diagram, der fører til hver af dem en pil fra den fyr, som han ikke afviser som en kandidat til alteret. Spørgsmål: Kan par matches, så hver finder en mand, hun accepterer?

Philip Halls teorem, siger, at dette kan lade sig gøre - under visse betingelser, som jeg ikke vil komme ind på her (så til næste forelæsning, studerende, tak). Bemærk dog, at mandlig tilfredshed slet ikke er nævnt her. Som bekendt er det kvinder, der vælger os, og ikke omvendt, som det ser ud for os (jeg minder om, at jeg er forfatter, ikke forfatter).

Noget seriøs matematik. Hvordan følger Halls sætning af Dilworth? Det er meget enkelt. Lad os se igen på figur 6. Kæderne der er meget korte: de har en længde på 2 (løber i retningen). Et sæt små mænd er en anti-kæde (præcis fordi pilene kun er mod). Dermed kan du dække hele kollektionen med lige så mange anti-kæder, som der er mænd. Så hver kvinde vil have en pil. Og det betyder, at hun kan virke som den fyr, hun accepterer!!!

Vent, nogen spørger, er det alt? Er det hele app? Hormoner vil på en eller anden måde klare sig, og hvorfor matematik? For det første er dette ikke hele applikationen, men kun en af ​​en stor serie. Lad os se på en af ​​dem. Lad (fig. 6) mene ikke repræsentanter for det bedre køn, men derimod prosaiske købere, og det er mærker, for eksempel biler, vaskemaskiner, vægttabsprodukter, rejsebureautilbud osv. Hver køber har mærker, som han accepterer og afviser. Kan der gøres noget for at sælge noget til alle og hvordan? Det er her, ikke kun vittighederne slutter, men også kendskabet til forfatteren til artiklen om dette emne. Alt jeg ved er, at analysen er baseret på ret kompleks matematik.

At undervise i matematik i skolen er undervisning i algoritmer. Dette er en vigtig del af læringen. Men langsomt bevæger vi os mod at lære ikke så meget matematik som den matematiske metode. Dagens foredrag handlede netop om dette: vi taler om abstrakte mentale konstruktioner, vi tænker på hverdagen. Vi taler om kæder og antikæder i sæt med omvendte, transitive og andre relationer, som vi bruger i sælger-køber-modellerne. Computeren vil lave alle beregningerne for os. Han vil ikke lave matematiske modeller endnu. Vi vinder stadig med vores tænkning. I hvert fald, forhåbentlig så længe som muligt!