Hvordan kan man bedrage, manipulere og præsentere sig selv i et positivt lys i matematikkens storhed?

I begyndelsen af november 2020 henviste Mateusz Morawiecki til matematikere fra Center for Matematisk Modellering, at de viste, at Kvindestrejken forårsagede en stigning i infektioner med 5000. Jeg har venner i dette Center - de lærte kun, at de havde forudsagt dette fra en tale af hr. - til Mateusz.

Jeg vil gerne understrege, at jeg måske i modsætning til artiklens titel hverken vil rose eller kritisere den nuværende statsminister. jeg tror at matematik er ikke hans stærke side, men sådan en intellektuel mangel vil ikke rejse indvendinger fra de fleste af jer. Og generelt, ville en stor matematiker ikke være i en ansvarlig position, men ikke klog i livet og politik? Jeg vil også nævne, at Donald Tusk i sin tidligere præsidentkampagne sagde (som i spøg): "du kan ikke skrive matematikeksamener uden at downloade." Du ved, matematikskyen er din mand, ligesom mig. Julian Tuwim var snobbet over sin uvidenhed om matematik. Og de kaldte mig til bestyrelsen. Jeg vil kun bemærke, at vi havde premiere i matematik i Polen. Det var (fem gange) Kazimierz Bartel, 1882-1941, rektor for Lviv Polytechnic, et fremragende geometer. Jeg kan ikke og forsøger ikke at dømme hans regeringstid.

At tørre munden er alsidigt og gammelt. Der er skrevet bøger, tynde og tykke, om det. Der er mange måder, jeg vil tale om nogle, jeg vil starte med dem, der er syet med tykke tråde. Måske var der før i tiden endnu flere sådanne metoder, for i den monumentale og første af sin slags ordbog over det polske sprog Samuel Bogumil Linde (udgivet i 1807-1814) læser vi:

matematiker, matematisk matematiker, matematisk jonglør.

Vi kender ikke de enkleste handlinger, og vi vil virkelig gerne bevise os selv. For nogle år siden skrev en journalist fra Olsztyn en lang udlægning om, hvordan producenterne bedrager os. For eksempel: På en pakke smør står der "fedtindhold 85 procent" - er det 85 procent i en terning eller i et kilo? Hele Polen kvidrede. Men kun smarte matematiklærere (det vil sige alle matematiklærere!) bemærkede en fejl i ræsonnementet fra en af vores tidligere premierministre, Kazimir Martsinkevich, for mange år siden. Jeg ændrer tallene lidt for at gøre det nemmere at se. Han sagde noget som dette: Vi brugte 150 millioner zloty på vejbyggeri og modtog 50 millioner fra Bruxelles, så vi vil kun bruge 100. Vi sparede 50 procent. Nå, 50/100 er 50 procent. Hvor er fejlen? Og hvis vi havde 100 millioner, hvor meget ville vi så spare? Fejlen er subtil. Apropos procenter, så er det vigtigt at få afklaret, hvor vi får dem fra. Dette er en meget almindelig fejl, lærere begår. De siger, at en procentdel er en hundrededel. Dette er ikke tilladt! Hundrede procent, men det er altid noget. Hvis vi bruger 150 og bruger 100, sparer vi 50 ud af 150, hvilket er 33 %. Premierminister Martsinkevich var fysiklærer. Enten var han så dårlig en lærer, at han ikke forstod procenter, eller også manipulerede han dem bevidst for at få den bedste politiske effekt. Jeg ville faktisk foretrække det sidste. Lad mig minde dig om en meget gammel anekdote fra før krigen. "Far, jeg sparede 20 øre i dag!" "Det er meget godt, søn! Hvordan? "Jeg kørte ikke med sporvogn til skole, jeg løb efter den!" "Ah, søn, løb for anden gang efter en taxa - du vil spare 5 zloty!"

Ideer, ideer! De fleste af ideerne om såkaldt kreativt regnskab er baseret på juridiske smuthuller (lov skrevet på knæet = lort) og afviger fra begrebet gennemsnit. Her er et eksempel: Hvordan kan alles løn hæves, mens gennemsnitslønnen sænkes? Enkelt: Giv en lille lønforhøjelse til dem, der allerede arbejder, og ansæt i den forbindelse en masse underbetalte folk. Gennemsnittet vil falde... og i forbindelse med den globale lønregning var det udelukket. Angiveligt opførte en vis direktør for en statsejet virksomhed sig på denne måde indtil 1989.

Du kan kæmpe direkte ved at bruge den matematiske analfabetisme i mange samfundskredse og kombinere matematik (??) med litteratur (??). Her er en demagogisk, men fiktiv tekst (omend baseret på en rigtig udgivelse, før 2010 til opmærksomhed).

Sygeplejerskerne vil have det bedre. For to år siden var den gennemsnitlige nettoløn for en sygeplejerske i Sochaczew county PLN 1500. Sidste år øgede regeringen udgifterne til sundhedsvæsenet med en halv milliard zloty. Det vil være dobbelt så meget som tidligere år. Hermenegilda Kotsiubynska, en sygeplejerske på Central Clinical Hospital, siger: i sidste måned var min løn PLN 4500. Det betyder en enorm, tredobling af sundhedsindtægterne.

Er der nogen at bedrage? Selvom tallene er de samme, kan du se, hvad vi sammenligner her. gennemsnitsløn på provinshospitalet med én persons løn i en given måned. Måske er Hermenegilda leder af sygeplejerskerne, måske har hun haft mange ekstravagter i denne måned, og desuden har CRH en særlig lønskala? Derudover er de nævnte PLN 1500 nettoløn, og det er ikke specificeret, om fru Kociubinskas løn er netto eller brutto. En halv milliard er et enormt beløb for et individ, men hvad betyder det på landsplan? Vi bemærker med det samme, at "en halv milliard" lyder bedre propaganda end "500 mio.". Hvad 500 millioner zloty gik til er ikke oplyst. Det vides ikke, hvorfor 500 millioner zł dobbelt så meget.

Hvordan kan jeg forbedre mine læringsresultater? Skole X bliver kritiseret af uddannelsesmyndighederne for dårlige uddannelsesresultater (dvs. en lav GPA, selvom det er forskellige ting!). Rektor finder en måde at gøre tingene lidt bedre på. Han flytter flere elever fra klasse A til klasse B og når sit mål: Gennemsnitsscore i begge klasser er steget.

Hvordan er det muligt? Hvis der er en elev i klasse A, hvis GPA er lavere end gennemsnittet i klasse A, men højere end gennemsnittet i klasse C, vil flytning af ham til klasse B have samme effekt. Tro er baseret på denne effekt Mechyslav Chuma i Leshek Mazan, forfatterne af "Galician Encyclopedia" (forlaget "Anabasis", Krakow), at den dag, hvor Sigismund III Vasa og hans hof flyttede til Warszawa, steg det gennemsnitlige intelligensniveau i begge disse byer.

Vi har en tendens til at fortolke data. Dette er den mest almindelige ikke-elementære strækning. Jeg starter med det mest dumme, men pålidelige eksempel. For mange, mange år siden rapporterede det nu hedengangne Express Wieczorny, at gennemsnitslønnen ved universitetet i Warszawa ville være 15000 24 złoty (dengang złoty). Rektor skulle have den højeste løn, 6, den laveste begynderassistent, 15. Gennemsnit XNUMX!!! manipulation gennemsnitsbegrebet er et emne for habilitering.

Her er yderligere to eksempler. Ved du, at den gennemsnitlige person i Polen har mindre end to ben? Nå, ja: der er dem, der har en, men ingen har tre! Det andet eksempel er mere subtilt. Nå, min kone og jeg har vores egne biler. Min transportør bruger meget brændstof, 12,5 liter pr. 100 km. Det betyder, at jeg på 100 km skal bruge 8 liter. Min kone har en lillebitte Mitsubishi - den bruger 8 liter pr. 100 km. Det er også meget, men for at beregningerne skal være enkle, skal dataene bearbejdes lidt. Vi kører ofte på den samme. Derfor er det gennemsnitlige brændstofforbrug for vores to biler det aritmetiske gennemsnit på 8 og 12,5. Læg sammen, divider med 2. Det bliver 10,25 liter. Det er selvfølgelig vigtigt, at vi ofte kører samme vej. Så hvor er mulighederne for manipulation?

Åh, her. Vidste du, at amerikansk brændstofforbrug beregnes anderledes? De vil svare: "Jeg kører så mange kilometer fra en gallon." Lad os overlade konverteringen af gallon til liter og miles til kilometer, men anvende den på de førnævnte biler: mine og Our Marriage's Sole Review Board. Jeg vil kun køre 8 km per liter (100 divideret med 12,5), min kone 12,5 km (100 divideret med 8). I gennemsnit vil en liter tage os ... det aritmetiske gennemsnit af disse tal. Det har vi allerede beregnet én gang. Det bliver 10 og et kvarter - denne gang 10,25 kilometer.

Lad os gå tilbage til europæiske standarder. Hvis jeg kører 10,25 km på en liter, hvor mange liter skal du så bruge til 100? Lad os tage en lommeregner: 100 divideret med 10,25 er ... 9,76. Gennemsnitsforbruget på vores biler er 9,76 ... og før det var det 10,25. Hvor er fejlen? Ingen! Faktisk ikke i matematik, men i fortolkningen af ordene "vi rejser lige ofte". Omhyggelig analyse vil vise, at i den første fortolkning betyder dette "vi kører det samme antal kilometer om måneden", og i den anden "bruger vi den samme mængde benzin." En tredje variabel kunne tilføjes: vi bruger lige meget tid på at køre bil (kone kører meget hurtigere)... og det ville være anderledes. Hvis vi måler noget, skal vi have et målebånd.

mere subtile situationer. Simpsons paradoks. Vi undersøger, hvad der er bedre til at fjerne skæl: Coca-Cola eller Pepsi-Cola. Vi tester på kvinder og mænd. Her er dataene. Næsten alle beregninger kan udføres i hukommelsen.

Venligst, læser, sæt dig ned. Bare for ikke at falde ud af følelsen. Hvad er den bedste drink til at fjerne skæl hos mænd? Jeg har markeret de større tal med rødt og de mindre med blåt. 25 er mere end 20, ikke? Herrer: køb cola mod skæl! Hvad med kvinder? Sandsynligvis omvendt? Nej, 60> 53. Damer, tag en Cola.

Virksomheden køber annoncer på tv, hvor et lykkeligt par (på gammeldags vis: en mand og en kvinde) slipper af med denne milde lidelse ved hjælp af Coca-Cola. Men der er en Pepsi-annonce. Nå, fordi der var 250 personer på testen både her og her, hvilket betyder, at de var ligeligt fordelt. Coca-Cola hjalp 80 mennesker (32%), Pepsi hjalp 100 mennesker, 40%. På skærmen smider mængden deres skæl, mens en dåse Pepsi ruller foran kameraet. "Vores generation har allerede valgt!"

Hvor er fejlen? Ingen. Jeg mener, matematikken er fin. Eller rettere bare aritmetik. For at være matematisk korrekt skal vi tage sammenlignelige prøver med samme andel af M som K. Ellers giver beregningerne ikke mening, som om vi beregnede gennemsnitsvægten af en myg og en elefant. Vi kan tilføje og dividere med to. Hvad har vi regnet ud? Nå, gennemsnitsvægten af en myg og en elefant. Hvad vil det give os? En tråd.

Men lad os tage det til politik, til USA, selvfølgelig. Tilhængere af en af kandidaterne, siger Bump, ville græde: Vi er bedre for både damer og herrer. Stem på Jozef Podskok! Triden-tilhængere ville skrive på bannere: Vi er de bedste i verden. Stem and med 3 huler (Donald).

Okay, hvordan er det egentlig? Dette er den sværeste del. Hvad betyder "virkelig"? Vi kan sige: "Sandt er det, der stemmer overens med virkeligheden." Et andet spørgsmål opstår imidlertid: hvordan måler man "korrespondance til virkeligheden"? Men det er ikke længere matematik, og det vil jeg gerne holde fast i, for kun her føler jeg mig tryg.

Om dette paradoks (kaldet Simpsons paradokset) er baseret på mange, mange andre. Det har været kendt i matematik i hundrede år, men (relativt) på det seneste har samfundsvidenskaberne interesseret sig for det. Det hele startede med, at rektor på et af de amerikanske universiteter bemærkede, at piger blev accepteret meget mindre end drenge. Hun bad om rapporter fra dekanerne... og det viste sig, at på alle fakulteter var forholdet mellem optagne og kandidater højere for piger end for drenge - og tværtimod. Jeg anbefaler, at læseren omformer eksemplet med Pepsi og Coca-Cola til situationen for universitetsafdelinger.

En endnu mere subtil situation. Alle i den matematiske verden kender "Nebraska-eksemplet". Et sted i Nebraska blev en butik ransaget, og et kasseapparat blev røvet. Vidner huskede kun, at dette blev gjort af et mærkeligt par: en mørklødet mand med skæg og en kvinde med orientalske træk. De tog afsted (dæk skrigende som i filmen) i en gul Toyota. Få timer senere tilbageholdt politiet ... en gul Toyota, hvori der var en afroamerikaner med skæg, ledsaget af en asiatisk kvinde. "Det er dig!". Håndjern, domstol. En erfaren matematiker har beregnet, at et sådant sæt (negro + asiatisk + gul Toyota) er så unikt, at 99,999% af røvere er eftersøgt. Han kastede huskede udtryk i salen: elementære begivenheder, Bernoulli-diagram, konjunktion. Parret gik for at sidde. Men de hyrede den bedste matematiker, som sagde i en appel: "Godt. Døm selv, min forgænger har beregnet, at sandsynligheden for, at en tilfældigt stødt bil med to passagerer vil være en gul Toyota med en sort og en japansk kvinde er sådan og sådan. Men her skal vi løse et andet problem, den betingede sandsynlighed. Hvad er sandsynligheden for at møde endnu et par (eller tre, hvis du tænder for maskinen), hvis vi ved, at sådan et allerede eksisterer. »

Vi ved ikke, om dommeren forstod nogen af argumenterne. Måske kun det, at svaret afhænger af situationens valg. Det var nok. Han annullerede dommen.

Et slag i hovedet med en stang. Vi har altid behandlet sådan demagogi (1).

Barer er forfærdelige: Kulpriserne er fordoblet. At se på tallene er betryggende: de er faktisk steget fra 161 PLN pr. ton til 169 PLN (øvelse: med hvilken procentdel?). Men da de fleste mennesker lærer visuelt, vil de huske grafen, ikke tallene. Uden at gå ind i politiske diskussioner må jeg sige, at en lignende metode blev brugt af regeringen (den fra sommeren 2020) og forestillede sig en stigning i udgifterne til kræft. Dette er ikke en kritik af denne regering. Den næste vil også bruge denne metode. Det er sikkert og giver øjeblikkelig effekt ("set").

Lad os bære masker. Lovene for spredning af epidemier er enkle og "i sig selv" ubønhørlige. Antallet af smittede vokser hurtigere, jo flere der allerede er. Sådan går lavinen. Det siger matematikken. Der er dog et stort "men" - måske mere end ét. For det første er det sådan, mens "der ikke sker noget". Når lavinen i skoven stoppes, når epidemien bremses af vores alles kloge opførsel, så vil vi ikke så meget "take" matematikken, men skabe en anden model. Ja, en anden matematisk model (som i eksemplet med butiksrøveri i Nebraska). Matematik, en smuk videnskab, hjælper kun med at forstå verden. Så mange, men kun så mange. Lad os se: vi springer næsten seks meter med en stang, uden den kan vi ikke engang springe 2,50. Så tag stangen i hånden og hop. Han er en helvedes plage, er han ikke?

anvendelse af matematik i samfundsfag det er svært, farligt og endnu værre, fristende. Kendere af Tatras forbinder det med Drege-kløften: en blid, græsklædt nedstigning fra Granater til Chyorny Stav ... Sådan ser det ud fra oven. Snart bliver kløften til en fælde, som kun TOPR, Tatra Volunteer Rescue Service, kan redde os fra.

Matematikere kalder denne stigning i laviner og epidemier eksponentiel vækst. Som jeg allerede skrev, kan denne vækst undertrykkes, men ikke igen. Lad os dog se på to plots af samme kurve (bare på en anden skala). Hvem vil forstå, jeg giver formlen for denne funktion: y = 2^xto til magten. Se venligst på diagrammerne. Fra hvilket punkt sker den hurtige vækstacceleration? Alle vil indikere: det er mere eller mindre tæt på det punkt, der er markeret med en stor prik. Men på den første graf er denne værdi tæt på 1,5, på den anden er den mere end 3, og på den tredje er den 4,5. Hvis der så er en slags gadedemonstrationer, så kan vi sige: venligst, fra demonstrationsøjeblikket gik kurven op, gik kraftigt op. I matematikkens herlighed! Og dette er blot en egenskab ved den eksponentielle kurve. Den tilsvarende skala og det punkt, hvorfra hurtig acceleration starter, kan frit vælges (2).

Præsidentvalg ... i USA, selvfølgelig. Vi husker stadig farcen fra november 2020. Landet, som stadig er magt nr. 1, har ikke klaret sidetallet. Til sidst viste det sig det Joe Biden ikke alene vandt han flere valgmandsstemmer, men han ville have vundet, hvis beslutningen var truffet med simpelt flertal. I den situation, som jeg vil beskrive, er der ingen matematisk manipulation – blot et eksempel på, hvordan resultatet af valget kan afhænge af den vedtagne beslutning. Hvis du ved det, er det svært at protestere. En forsvarsspiller i fodbold kan anse håndboldforbuddet for at være forkert, men ignoreres det, vil der blive idømt en straf.

Forestil dig, at følgende stiller op til præsidentposten i Grækenland: Apollonius, Euclid, Hejre, Pythagoras i Sådanne. Den, vælgerne vælger, bliver præsident. Dem er der 100. De blev valgt ved folkeafstemning, og derefter fastlagde de partier, der var repræsenteret i parlamentet, det vil sige Cirkus Maximus, deres præferencerækkefølge. Noget er galt, fordi Circus Maximus er et latinsk navn, ikke et græsk. Men lad os ikke skændes med kilderne.

Hvem bliver præsident? Lad os se, hvordan det afhænger af ordination. Partiets præferencer skal forstås sådan, at dets vælgere stemmer på den første person fra listen, der er tilbage ved valget efter næste runde.

Hvis kendelsen bestemmer, at den kandidat, der sætter flest vælgere på førstepladsen, vinder, vinder Pythagoras, fordi han bliver valgt af 25 + 9 = 34 vælgere. Det er det, der sker i skolen, når vi vælger for eksempel den bedste elev. I vores sted: Pythagoras er valgt af folket!
Ved moderne præsidentvalg bruges anden runde-systemet oftest. Vi stemmer på én kandidat, men hvis ingen af dem overstiger 50 procent, afholdes en anden runde. Vinderen er den, der opnår det absolutte flertal af stemmerne, det vil sige simpelthen flere stemmer end sin modstander. I dette scenarie vil Pythagoras (34 stemmer) og Thales (20) gå til anden runde. I anden runde fordeler vælgerne deres stemmer efter deres præferencer. Alle undtagen pythagoræerne foretrækker Thales frem for Pythagoras. Dette er en almindelig situation, hvor et parti har en hård vælgerskare og er omgivet af generel modvilje. Så i forlænget spilletid får Pythagoras ikke en eneste stemme. Resultat 66:34 til fordel for Thales og en afgørende sejr. En lignende situation opstod i 2001 i Slovakiet, hvor en kandidat, der klart vandt første runde, tabte i anden. Det var lignende ved præsidentvalget i Polen i 2005: lederen blev besejret i den anden efter første runde. Længe leve præsidentens fortællinger!
I cykling bruges det såkaldte australske system. Efter hver omgang af banen er den sidste elimineret. Denne version af valgloven kaldes "valg af direktører". Under dette system blev den første præsident for det uafhængige Polen, Gabriel Narutowicz, valgt. Hvordan ville det se ud i vores Grækenland?

Sagen er mere kompliceret. Følg venligst. I første runde fik Euklid færrest stemmer og droppede ud (hvor ærgerligt, sådan en god matematiker!). Partiet stemmer derefter i anden runde på den anden på sin liste: Tsaplya. I anden runde har Heron 19 + 10 = 29 stemmer. Apollonius er elimineret (17 stemmer). parti, og stem så på Heron. I tredje runde har Pythagoras (faste vælgere) 34 stemmer, Thales 20 og Heron 29 + 17 = 46 stemmer. Historierne er ude. Faleserne (Part B) bryder sig heller ikke om pythagoræerne – de foretrækker herolder. Andre også, bortset fra stabile partier A og E. I den sidste tur besejrer Heron Pythagoras let 66:34. Vivat præsident Heron!

4. Ved Eurovision Song Contest blev der givet 12 point for den første plads på listen, 10 for den anden, 9 for den tredje, og så videre. Lad os antage omtrent den samme score 6-4-3-2-1. Så der blev givet point i tre atletikkampe (tre hold, to spillere i hver konkurrence, i 1958 vandt Polen over USA og Storbritannien!). Vores resultater bliver som følger:

Euklides: 4+2+3+4+6+4=23.

Apoloniusz: 2+3+4+5+3+3=20.

Цапля: 1+4+6+3+4+1=19.

Сказки: 3+6+2+2+2+2=17.

Pitagoras: 6+1+1+1+1+6=16.

Grækere, her er jeres præsident Euklid!

5. Læserne gætter på, at vi kun skal tælle stemmerne op, så det viser sig, at Apollonius er den bedste. Ja, Apollonius er den bedste - fordi han er den bedste. Alle taber til Apollonius! Hvorfor?

For hvor mange kurfyrster placerede Apollonius over Heron? Lad os regne ud: 25+17+9=51 betyder flertal. Ikke meget, men alligevel.

Hvor langt er Apollonius foran Euklid? 20 + 19 + 17 = 56, de fleste af dem.

Hvor mange foretrækker Apollonius frem for Thales: 19+17+10+9=55>50.

Endelig foretrækker Apollonius af Pythagoras 20 + 19 + 17 + 10 = 66 valgmænd ud af 100.

Siden da - det græske folk, i stand til at tænke logisk - siden da foretrækker Apollonius mest af alt enhver anden kandidat; det er jo ham, der skal regere os til næste valgperiode! Kom nærmere, Apollonius, vores valgte præsident! Du bliver vores 44.